例析如何巧求弦长

摘要：本文结合案例讨论了如何巧求弦长，涉及“解析法”“几何法”两类数学方法，其中“解析法”又包含“普通式”“参数式”“极坐标式”三种公式；文章结合案例分别讨论了应用每个公式的条件、方法及优点，突破了“弦长问题”的难点，解决了同学们在求弦长时存在的问题。

关键词：弦长；条件；巧求

弦长是二次曲线与直线相交所得线段的长度，求弦长是近几年高考課标卷的一个高频考点。由于高中阶段学生学习了不同形式的弦长公式，导致部分学生在求弦长时不能选择合适的弦长公式，既浪费时间又影响答题的准确性。因此，如何依据条件选择合适的弦长公式巧求弦长是学生需要探究的问题，下面笔者结合例1做简单分析。

例1已知圆C方程为（x-4）2+（y-2）2=4，直线l方程为x-y=0，若圆C与直线l相交于A，B两点，求|AB|的长。

一、 几何法

分析：例1中曲线C为圆，直线l为普通式方程，可以用“几何法”的弦长公式。

解：圆心（4，2）与直线l的距离d=|4-2|2=2，r=2，则|AB|=2r2-d2=22。

评析：由于例1中最特殊条件为曲线C为圆，而圆中的问题最简洁的方法是“几何法”，几何法的关键是求弦心距。因此，从曲线C的角度考虑，解答例1的首选是“几何法”。

二、 解析法（极坐标式）

分析：由于例1中曲线C可以当作普通曲线，而直线l过极点，可以用“解析法（极坐标式）”的弦长公式。

解：设A，B两点的极坐标分别为ρ1，π4，ρ2，π4，直线l和曲线C的极坐标方程分别为θ=π4（ρ∈R），ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0（∈R），由ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0（ρ∈R）

θ=π4（ρ∈R）得ρ2-62ρ+16=0（ρ∈R），则ρ1+ρ2=62，ρ1ρ2=-16，因此，|AB|=（ρ1+ρ2）2-4ρ1ρ2=22。

评析：由于例1中直线l过极点，从直线l的角度考虑，用“解析法（普通式）”求弦长可以使计算变得简单，如果曲线C不是圆，则用“解析法（极坐标式）”求弦长是最简洁的方法。

三、 解析法（参数式）

分析：把例1中曲线C当作普通曲线，而直线l过（0，0），倾斜角为π4，其参数方程为x=22t

y=22t（t为参数），可以用“解析法（参数式）”的弦长公式。

解：设A，B两点的参数分别为t1，t2，将直线的参数方程和曲线的普通方程联立、消元得：t2-62t+16=0，则t1+t2=62，t1t2=-16，因此，|AB|=（t1+t2）2-4t1t2=22。

评析：解决例1最好的方法是“几何法”，但如果例1中的曲线C不是圆，而直线l满足x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（α为参数），则用“解析法（参数式）”的弦长公式较简单。

四、 解析法（普通式）

分析：把例1中曲线C当作普通曲线，直线l当作普通直线，可以用“解析法（普通式）”的弦长公式。

解：设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由（x-4）2+（y-2）2

x-y=0得x2-6x+8=0，则x1+x2=6，x1x2=-8，因此，|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=22。

评析：很显然用“解析法（普通式）”的弦长公式解答例1是不可取的方法，但如果例1中的曲线C和直线l都不满足特殊条件，则只能用“解析法（普通式）”的弦长公式。

以上结合例1分析了不同形式的弦长公式，比较各类公式的应用条件和优点，很显然“几何法”是解答例1最简洁的方法。但同学们要未雨绸缪，在例1的基础上，想到针对不同的条件该优先选择何种形式的弦长公式。

参考文献：

[1]李加发.一道关于求弦长习题的思考[J].考试周刊，2018（10）：73.

[2]刘大鸣.抛物线焦点弦长公式的探究及应用[J].高中生之友，2018（Z1）：47-48.

作者简介：

马国良，甘肃省武威市，甘肃省武威市天祝藏族自治县第二中学。