在游戏中经历“反算”

2018-07-16郜舒竹

教学月刊·小学数学 2018年1期

郜舒竹

“课堂革命”指向的是学生的“创新精神”和“实践能力”的培养。这是时代对教育提出的要求和挑战。创新精神和实践能力，都不可能在被教状态下养成。因此课堂革命首先需要将以“教师教的活动为主”的课堂教学，改变为“以学生学的活动为主”的课堂教学，也就是要把“教为中心”改变为“学为中心”。这样的改变可以简称为“变教为学”。实施变教为学教学改革，需要教师在行为与技术方面的三个转变：教学需要“变讲解为引发”；管理需要“给自由引自律”；评价需要“视错误为多样”。针对这些难题，本栏目将陆续刊登相关研究。欢迎赐稿。

【摘要】数学教学改革倡导“变教为学”，实现这种改革的一个技术型难题是为学生设计有效、有趣的学习活动。反算作为人日常工作、科学与数学研究的真实活动，需要让学生在数学学习过程中亲身经历。为了引发学生参与反算活动的兴趣，可以将具有操作性和趣味性的扑克牌游戏融入到学习活动中。

【关键词】反算；课堂革命；学习活动；扑克牌；混合运算

我国小学数学教学历来有所谓概念教学、计算教学等说法，其中的计算教学通常会强调所谓“算法”和“算理”。遵循的模式一般是“给出算式算出结果”“怎样算”的问题叫作算法，“为什么这样算”的问题叫作算理。

依据对立统一方法论的基本观点，对立的双方应当并存，并且在适当的条件下可以相互转化。因此任何过程都应当有与之方向相反的过程存在，针对“给出算式算出结果”的过程，就应当有“知道结果寻找算式”的过程。如果把前者叫作“正算”，那么后者就可以称为“反算”。

一、“反算”是人的真实活动

“反算”一词多用于科学和数学研究领域，对应的英文单词是“Inverse Operation”，其本意是“反过来算”，或者“反过来做”。比如，如果把数“2”和“4”看作两个已知的数，那么就可以对这两个数实施加法运算，表示为“2+4”，对应的结果就是“6”。相对于这样的运算，可以反过来想，还有什么样的数以及运算可以得到结果6？也就是把“6”看作已知的数，去寻找两个数以及相应的运算，其结果可以等于6。经过思考与计算，可以得到如下算式的许多结果：

3+3，10-4，3×2，12÷2

这些思考和计算就成为前面“2+4”计算过程的反算过程。反算是相对于“正算”来说的，如果把从“2+4”得到“6”的过程看作“正算”过程，那么去寻找如何能够算出“6”的过程就成为相对于这个正算的反算过程。

这样的过程与方法在日常工作以及生活中会经常遇到。比如，如果已知飞机的平均时速是每小时700千米，如果飞行1.5小时，可以计算出飞行距离为：

700×1.5=1050（千米）

实际情境中，出差旅行的旅客登机后，最关心的问题往往不是飞行距离，而是“几点到”，也就是飞行时间。因此如果把已知速度和时间求出飞行距离的过程看作正算的过程，那么去寻求飞行时间的过程就是相对于正算的反算过程。

再比如缴纳个人所得税的问题，如果一个人的月工资为4500元，那么应缴纳个人所得税的税率为10%。也就是每月缴纳个人所得税450元，实际获得工资收入为4050元。这样的计算过程是已知月工资总额和税率，求出缴纳税款金额和实际工资收入的过程。在现实中人们遇到的实际问题往往是需要反过来思考的，每月发工资时，首先看到的是实际工资收入，这时自然的问题是想知道“扣了多少税”以及“按照什么税率扣的税”，解决这样问题的过程就成为前面正算的反算过程。

反算不仅是人们日常活动中经常遇到的，同时也是数学与科学学习、研究中的常用方法。比如把指数运算看作正算，那么相应的对数运算就是反算过程；把三角函数看作正算，对应的反三角函数就是反算过程；等等。将反算过程融入到数学学习活动中，让学生亲身经历这样的活动，对于拓展数学学习内容，丰富数学学习经验，开拓学生思维会有所裨益。

二、“24点”游戏与反算

计算在数学学习中通常被认为是枯燥的，如何在计算活动中引发学生的兴趣，是教学研究的重要课题。将具有操作性以及趣味性的游戏融入到计算活动中，对于提高开展学习活动的兴趣自然是有益的。“24点”游戏是利用扑克牌所进行的一种智力游戏。其规则非常简单，把四张牌上的四个数，用加、减、乘、除算出24，与扑克牌的花色无关。比如用下面四张牌上的数字算出24。

這一问题的思考与解决过程，实质上就是学生通常熟悉的混合运算过程的反算过程，其结果至少可以是如下三种情况：

l 1×2×3×4=24

l （1+2+3）×4=24

l （2+4）×（1+3）=24

反算过程的结果往往具有多样性和不确定性。在实际教学中，充分利用这样的多样性设计学习活动，有益于沟通不同算法之间的联系，开阔学生的思维。

三、游戏中的深入思考

游戏过程中可以引导学生开展“问题生问题”的思考活动。比如在解决了图1“1，2，3，4”的情况后，可以引导学生思考：

l 用四个连续自然数计算24，可以怎样算？

这其中实际上包含了“2，3，4，5”“3，4，5，6”等九个问题。受一个问题的启发，得到了一系列新的与之相似的问题，可以叫作“问题链”。每种情况的答案列举如下：

（1） 2，3，4，5

（5+3-2）×4=24，（5+4+3）×2=24

（2） 3，4，5，6

（5+3-4）×6=24

（3） 4，5，6，7

（7+5-6）×4=24，（7+5）×（6-4）=24

（4） 5，6，7，8

（7+5-8）×6=24，8×6÷（7-5）=24，（8-6）×（7+5）=24

（5） 6，7，8，9

8×6÷（9-7）=24

（6） 7，8，9，10

8×9÷（10-7）=24

（7） 8，9，10，11

经过反复尝试，怎么也算不来。由此有理由猜想，也许满足要求的算法是不存在的。事实上，通过计算机检验，算法的确是不存在的。

（8） 9，10，11，12

（11+9）×12÷10=24，（12+11+10）-9=24

（9） 10，11，12，13

（13+12+10）-11=24

类似的，还可以研究连续奇数、连续偶数、四张相同数等有规律的四张牌。下面研究四张相同数的牌，从最简单的开始：用四张“A”能否算出“24”？

经过反复尝试，怎么也找不到算法。这时，应该思考算不出来的原因，这个原因有两种可能性：一是算法存在，我没找到；二是算法根本不存在。此时思考的目标应该体现在判断哪一种可能性大上。由于经过“反复尝试”也没有找到，因此有理由判断算法不存在的可能性大。有了这样的判断，下面的思路就不再是“找算法”，而是“证明不存在”。

很容易看出这四张牌上的数字运用加、减、乘、除四则运算，能够算出来的最大数是4，因此用四个“1”得出“24”的算法是不存在的。下面再看两个用常规思路不易解决的问题：

l 用下面四张牌算出“24”。