深刻经历过程真正悟得思想

2018-07-16宋建琴吴培钢

教学月刊·小学数学 2018年1期

关键词：窍门加数边长

宋建琴吴培钢

【摘要】“数与形”的教学，可以用更具挑战性的教学情境，用更扎实到位的教学步点，引导学生深刻感受数与形之间的联系，真正掌握“以形解数”的窍门，深刻悟得“数形结合”的思想。

【关键词】教学情境；以形解数；数与形

这两道例题都旨在引导学生初步感受数与形之间可存在联系，利用图形直观形象的特点，可表示出数的规律，或解决一些复杂的、抽象的、不好解释的关于数的问题。

解读教材之后，我们觉得，倘若简单地按照教材呈现的方式展开教学，那么这道例题的教学价值似乎挖掘得不够充分，学生恐怕也难以真正获得对数形结合思想（尤其是其优越性）的感悟。原因有二。

一是学习材料的直接呈现，学生只需简单地数方格、填空、观察，就可得出规律。這样的形式，不能让学生感受到数形结合思想解决问题的一个重要步骤——数至形的转化。

二是计算数据的过于简单，如加数个数直接可数，算式之间前后相接，学生很容易“推导”得出结果，这同样无法让学生感受到数形结合思想解决问题的另一个重要之处——抓两者关键联系，巧妙解决问题。

基于以上分析，我们认为，把例1单独做成一节课，以更具挑战性的教学情境，以更扎实到位的教学步点，去引导学生深刻经历问题解决的探究过程，真正悟得数形结合的思想方法，也许是一个值得尝试的做法。效果如何，需要课堂来检验。

【课堂实录】

课前谈话，整理学具，学生统计学具袋里不同颜色的正方形纸片，得出数量分别为1，3，5，7，9个，教师板书数据。

一、提出问题，暴露学情，激发兴趣

1.引导学生发现数据特征。

根据学生发现的数据特征，板书“从1开始的连续奇数”。

教师将数据转化成算式1+3+5+7+9，学生口算答案。变化算式，加至79，再求答案。

2.学生展现已有经验。

生（很多学生举手示意会做）：这是等差数列，可以用“（首项+末项）×项数÷2”来计算。

生：就是（1+79）×40÷2，答案是1600。

教师根据学生回答，引导全班学生理解算式中每个数的含义，再用递等式计算，确认结果是1600。

3.教师展示计算“窍门”，激发学生探究兴趣。

师：同学们，你们的公式是对的，答案也是正确的。但老师计算这道题目，根本就不需要用这个公式，我只要眼睛瞄一下算式，就能马上想到答案。你们信不信？

教师将算式继续加至119，学生又想用公式尝试计算，教师已报出答案3600，学生确认。

再次续加，加至179，教师又快速得出答案，学生很惊讶！

师：同学们，老师算这样的题目速度特别快，那是因为我有窍门。你们想知道我的窍门是什么吗？（学生都很想知道）

师：这是一道关于数的计算问题（板书“数”），而老师的窍门就是借助几何图形来解决它（板书“形”）。

学生充满了兴趣，教师引领学生走进新知探究的环节。

【设计说明】直接出示数的计算问题，有利于凸显数形结合解决问题的真实来源（现实需求）。计算至79，虽增加计算的难度，但通过后续学习以数形结合解决问题后，就能衬托出数形结合解题的优越性。不遮掩学生的已有经验，但快速转至教师有“窍门”，既照顾了学生，又吸引了学生。

二、新知探究，逐步深入，自主建构

1.初步感知——“数”可以转化成“形”。

（1）教师试摆，引导学生发现常规摆法无助于问题解决。

师：这个算式1+3+5+7+9+……我用一个小正方形，就代表1（贴在黑板上），接下去+3呢？（在1个后面继续摆上3个）再+5呢？（在3个后面又摆上5个）然后呢？（示意后面可继续摆7个、9个……）

……

师：是啊，如果把这些正方形只是这样简单摆一下，最后求和还是很麻烦。那么，到底怎么摆才好，才能让我们比较容易地求出算式的和呢？

师：请你以1+3+5为例，用桌上的小正方形，自己摆一摆，研究其中的窍门。

（2）学生自己摆，发现“数”转化成合适的“形”，有利于计算。

学生分小组合作试摆，教师巡视，请学生上黑板摆出两种典型方法（图1、图2）。

教师引导学生发现，两幅图都摆出了1+3+5，而且各有特点——一个摆成了三角形，一个摆成了正方形。

师：你们更喜欢哪一种摆法？为什么？

生：我认为摆出正方形好，因为这样可以只看边长，用边长×边长，三三得九，总数就一下子算出来了。（其他同学复述，大家纷纷认可）

师：那么摆成三角形的样子，有什么不好呢？

生：摆成三角形，最后还是要一层一层个数相加的。（这样摆也可用三角形面积公式求和，但若加数多了，层数是几还是要算，所以此法无益——笔者注）

师：我同意大家的观点，把算式摆成一个正方形，只要看边长就可快速计算出总数，这样的方法非常简单，是好方法。同学们已经触摸到这个“窍门”啦！

【设计说明】遇到“数”的问题，却要用“形”来解决，这之间的转化（这种意识及行为），是数形结合的关键步骤。教师先自己摆正方形，让学生发现摆法无助于问题的解决，再引导学生探究“好的摆法”。学生经历了尝试，也看到了不同的摆法，在对比分析之后，感受到摆成正方形的好处。如此过程，有效地引领学生走上“数”至“形”的转化之路。

2.再次感知——“数”与“形”之间有联系。

（1）摆1+3+5+7和1+3+5+7+9。

师：那接下去是+7，你们能再摆一摆吗，看看能摆出什么图形？

学生再次动手操作，组织反馈，发现能摆出一个正方形——每条边上有4个小正方形，得数是4×4=16。（图略）

师：接下去是+9，同学们觉得还能摆成正方形吗？是怎样的正方形呢？

学生都说是边长为5的正方形，教师组织学生再次操作，验证猜想。（图略）

师：看来加到9，的确能摆成边长为5的正方形，答案一看就知道是25。

（2）引导学生感受“数”与“形”之间的联系。

师：同学们，我们刚才几次都将算式转化成了正方形，请你来观察对比一下，这样的转化究竟好处是什么呢？

生：这样一转化，算式的和就是正方形最边上一列小正方形个数的平方。

师：你们讲得完全正确，恭喜你们，老师的窍门正在被你们慢慢破解！

3.深入理解——找到“數”与“形”的关键联系。

（1）探究1+3+5+7+9+……+79。

师：那么1+3+5+7+9+……+79，会得到怎样一个图形？和又是几呢？

组织学生讨论，教师巡视，理解学生想法，适时参与讨论，然后组织反馈。

生：加到79，会得到一个边长为40的正方形，和是40×40=1600。（学生纷纷赞同）

师：凭什么说加到79，会得到正方形，而且它的边长就是40 呢？

生：我们可以借助图形来解释。

一组学生主动要求上黑板，利用之前黑板上的正方形进行解释（如图3）。

生：我们之前加到5的时候，5+1再除以2，就是边长为3的正方形；加到7的时候，7+1再除以2，就是边长为4的正方形；加到9的时候，就是9+1再除以2，所以边长是5。

学生边说边示意，教师适时引导其他学生看图理解，并得出以下板书：

5→3 7→4 9→5

（5+1）÷2=3 （7+1）÷2=4 （9+1）÷2=5

师：老师有一点不明白，为什么都要先加1呢？

生：因为如果两条边上的个数加起来，角上的正方形就多算了一次。所以如果先加1，再除以2，两条边上的正方形个数就一样多了。

教师引导学生观察图，理解算式的道理。（若有另外算法的，同样予以引导理解）

生：现在加到79，如果79加1，就是80，80分到两条边上，每条边就是40，所以肯定是边长为40的正方形。

其他学生报以热烈的掌声，教师板书跟进（79+1）÷2=40，并组织学生再次同桌互说，理解其中的道理。

师：同学们太厉害了，利用之前的学习，推导发现出了数与形之间的联系，找到了规律，解决了问题。这个想法和答案完全正确！老师的窍门马上要被你们破解了。

【设计说明】“数”能够转化成“形”，还不足以解决问题，发现两者之间的联系，找到关键处（突破点），需要通过对比、分析、推理等一系列思维的过程。这个过程不是一蹴而就的，拉长这个探究的过程本来就是有意义的学习目标——学生思维的提升。因此，教师分解步骤，+7和+9，确认能转化，并感知这个加数与边长的关系；+79，没法运用材料摆放，逼迫学生通过想象和思考，找寻加数与边长的关系；回到+7和+9，深入研究，确认联系，得出算式（模型）……以上过程，虽曲折，但学生由此却深刻地感受到了如何“由形解数”。

（2）运用规律，抽象概括。

师：那么加到119呢？

生：（119+1）÷2=60，60×60=3600。

师：加到179呢？

生：（179+1）÷2=90，90×90=8100。

师：看来同学们已经知道其中的窍门了，谁能来说一说？

多位学生介绍经验：只要看最后一个加数，把这个加数加1，再除以2，就是正方形的边长。再边长乘边长，就可计算出总数。

师：同学们，这正是老师之前计算这些题目用到的方法。祝贺大家，现在我的窍门已经被你们真正掌握了！

教师组织回顾所学，归纳小结从1开始的连续奇数求和问题的解决方法。（板书：见数思形，以形解数。揭题：数与形）