从“研题”、“究题”到“编题”——以椭圆中心三角形面积研究为例

陈芝飞　方均斌

(1.温州市第十四高级中学325000;　2.温州大学325035)

波利亚指出“解题的价值不是答案本身，而是在于弄清是怎样想到这个解法的”，数学教师离不开解题研究.研——石开也：把石头撬开，既需要耐心与勇气，更需要高屋建瓴谋全局的意识.究——九穴也：问题的表象可能扑朔迷离，需要有锲而不舍、上下求索的探究意识与探究精神.通过解题研究(简称“研题”)挖掘题目背后蕴藏的数学观点、数学思想，透过现象认识本质.研题既是高中数学教师必备素养与能力，也是教学研究的重要组成部分.那么研哪些题？怎么研题？笔者结合椭圆中心三角形面积的研究谈谈自己的收获与体会，与读者共享.

1　 聚焦题源

研题的最终目的是为了学生的学，帮助学生走出题海，提高效率，减轻学生的学习负担.因此，作为高中数学教师应时常关注高考题、竞赛题、高考模拟题等，一般来说，一些频繁出现的类似问题常会引起人们的关注.笔者留意到近几年对于椭圆中心三角形(定义：设O为椭圆的中心，A、B为其上的两点，称△AOB为椭圆的中心三角形[1].)的面积考查频率较高.如

图1

图2

图3

题3(2016年温州市一模)如图3，已知椭圆C：

(Ⅱ)过点A作AP∥OM交椭圆C于点P，求证：BP∥ON．

我们自然会想到，对于给定的椭圆，其中心三角形面积决定因素是什么？定面积的椭圆中心三角形背后的数学本质又是什么？

2　研题与究题

基于这样的思考，笔者先尝试用初等的方法探索，结果发现了一个有趣的现象：椭圆的问题往往具有“圆的影子”.采取高等数学中的仿射变换，得到了一些有趣的结论，收获颇丰.

2.1　朴实无华地初等探索

聚焦题源，选定研题素材之后，接下来就是明确研题方向提出问题，解决问题.以初等方法起步，表征化归、以简驭繁.

代入化简得

(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，

由Δ>0得m2

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

2.2　高屋建瓴地“研题”

为了更好地识得真相，需要挖掘高等数学的背景，首先想到仿射变换.

在变换μ下椭圆C由圆O:(x′)2+(y′)2=a2纵向压缩而来(如图4)，

图4

即若O到直线A′B′的距离为定值，

则椭圆中心三角形OAB面积为定值，反之亦然.

于是得到椭圆中心三角形定面积的定理：

该定理既帮助我们认识椭圆定面积的本质，也为我们提供了做椭圆定面积三角形的一个方法.以题3为例，在仿射变换的下将椭圆变换成圆，则∠APB=∠MON=90°，由仿射变换的平行不变性得证.

2.3　上下求索地“究题”

正如波利亚所言“好问题类似于采蘑菇，采到一个后还应四处看看，也许还有更多”，所以研题者须有上下求索的“究题”精神.

图5

证明由定理知：

联立直线与椭圆C的方程组易得线段AB中点

所以点M的轨迹方程

点M的轨迹方程是

点M的轨迹方程是

证明

得到圆O：(x′)2+(y′)2=a2， (如图6、7)

进一步得OA′⊥OB′.

图6

若λ>1，(如图6)结合圆的割线性质可得

(λ-1)(λ+1)a2

=P′G′·P′B′.

若0<λ<1，(如图7)由相交弦定理可得

图7

(1-λ)(λ+1)a2=P′G′·P′B′,

(本题也可用解析法证明，有兴趣的读者可尝试)

证明直线AB斜率为k，可设直线方程为

y=kx+m,

得(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

又点A关于x轴的对称点为D，故D(x1,-y1)；

则中心三角形△OBD面积

结合定理可以得到新的推论:

3　运用自如地“编题”

通过教师高屋建瓴地探索所得到的结论，我们的“题源”也就丰富起来了. 我们仍然以本文所得到的定理及其推论为例，就可以很自然地根据考核目的进行编写适合学生完成的各 类数学题，限于篇幅，这里不妨提供两例，解答由读者自己完成.

训练题1:

C.不是定值，但有最大值D. 不是定值，但有最小值

(答案：A，结合推论3易知)

受文[4]92页(性质四十二)启发，又编得一题.

训练题2：

已知过原点的直线交椭圆x2+2y2=1于A,B两点，点P为椭圆上异于A,B的两点，弦PA,PB的中点分别记为M,N,射线OM,ON于椭圆的交点分别记为G,H,则下列三角形中面积为定值的是()

A. △OMNB. △OAG

C.△OPGD. △OGH

(答案：D)

抓住中心三角形面积为定值的数学本质，植于“题源”，也可进一步挖掘，编出适合竞赛学生的题目.

训练题3：

高考的命题往往有高屋建瓴，立意高，入口宽，落点低的特点，作为数学教师，我们要善于思考，积极探究，了解试题背景、挖掘试题本质、从而居高临下的教学；我们要有攻坚克难的精神，持之以恒的态度，更要有解决问题的创新精神和独特智慧！我们要具备高等数学的素养和观点，做到高屋建瓴“研题”及上下求索“究题”，同时一些水到渠成的“编题”也就“不在话下”了！