数学理解重在“导”

崔志荣

(江苏省东台市安丰中学 224221)

1　提出问题

在高三复习中，经常遇到这样一道经典题：

题1若函数f(x)=lg(kx2-2x+1)的值域为R，则实数k的取值范围是.

教学中发现，很多学生的答案与“定义域为R”的答案一样.通过课堂提问得知，他们知道讨论二次项系数，但对k>0这种情况，他们认为应该是Δ<0，如果Δ≥0，那么真数kx2-2x+1的最小值非正，无意义.他们实在很难想得通，为什么应该是Δ≥0？

诚然，题1确实有一定的理解难度，在高一函数学习中，很多教师就已经讲过这类题，通常是用换元法理解该问题，令t=kx2-2x+1，则f(x)=lgt，借助对数函数图像说明，若要使函数f(x)的值域为R，则需变量t取到每一个正数(缺一不可).对于k>0这种情况，同样借助二次函数图像说明，若Δ<0，则t=kx2-2x+1的最小值tmin为正，函数f(x)有最小值lgtmin，只有Δ≥0时，才能保证t取到每一个正数，使得函数f(x)的值域为R.我们发现，即使讲得再慢、再仔细，总还有学生纠结Δ的正负问题，当然，相应的变式演练，他们的正确率没有问题，步骤不多，容易记住，而且还有“定义域为R”的题目作铺垫，总不能两道题做同样的答案吧！但实际情况是，很多学生并没有真正理解，以致到了高三，原形毕露.

既如此，那我们应该怎样评讲这道题？才能使学生悟透其本质内涵，让他们经久不忘其方法呢？

2　数学理解的几个层次

针对上述问题，笔者先谈谈学生对数学知识方法理解的几个层次，并由此思考促进学生理解的教学策略.

(1)费解.对教师所讲的知识方法，学生很难理解接受.他们无法理解概念、定理的内涵，甚至不知所云；他们想不通教师所用的方法，总感到自己的方法没有问题.像上述题1的讲解，就有不少学生存在费解现象.

(2)了解.学生明白教师所要表达的意思，但不知所以然，更不知其本质内涵.对于这些知识方法，学生很难运用它们解决实际问题，而且很快会忘记.

(3)悟解.学生对教师所讲的知识方法，达到一定的理解水平，基本领悟、领会这些知识方法.他们能够运用这些知识方法解决一些简单或中等难度的相关问题，当然，还不能灵活运用这些知识方法解决一些有难度的深刻性的问题.

(4)通解.通晓参透教师所讲知识方法，已深刻理解这些知识方法的本质内涵.学生能够运用所学的知识方法，灵活解决相应的一些较难问题甚至难题.

以上学生的四个理解层次，是笔者教学经验之总结划分.我们教师所面临的问题是，如何提高部分学生的两个低层次理解水平？通过怎样的教学手段？不让学生费解，让他们尽快吃透知识方法的本质内涵，从而达到悟解甚至通解的较高理解层次.

3　“善导”促理解

很显然，不合理的教学引导，影响学生的理解；常规生硬的讲解，不能促进学生的理解；优化设计问题，合理引导学生思考，有助于促进学生的理解.笔者通过题1的反思认为，下文三种引导学生思考的教学策略，有助于提升学生的理解水平.

3.1　导思“归纳”

上文题1，既然总有一些学生费解，那我们教学就慢一点，先让学生研究相关具体的函数，从中感悟这些简单函数的定义域和值域，由此再思考题1，学生往往就能感悟到一般性规律，甚至不用教师分析就能直接完成题1.根据题1解题中较难理解的相关情况，可选择下列3个函数，要求学生求其定义域和值域.

(1)f(x)=lg(-x2-2x+1)；

(2)f(x)=lg(x2-x+1)；

(3)f(x)=lg(x2-x-2)；

第(1)小题能说明，当k<0时，t=kx2-2x+1有最大正值，从而函数f(x)有最大值；通过第(2)小题可知，当k>0时，若Δ<0，则函数f(x)的定义域为R，此时t=kx2-2x+1有最小正值，从而函数f(x)有最小值；而第(3)小题则让学生感悟到，当k>0时，t=kx2-2x+1与x轴有两个不同的交点，此时定义域不为R，但t=kx2-2x+1能取到一切正数，此时f(x)=lgt的值域为R.学生完成这3小题后，再经教师的严密解题分析，对题1的理解应该容易多了.

我国著名数学家华罗庚先生说过，“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍”.很多数学问题有高度的抽象性和一般性，学生很难直接理解，教师要善于引导学生退，退到最简单的特殊情况，让他们思考领悟这些简单问题，由此再思考一般性问题，容易发现其规律、理解其本质.

3.2　导思“因果”

日常教学中，笔者发现，学生“知其然，不知其所以然”的现象不少.很多知识方法，学生了解其内容，但问其来龙去脉，却不知所云！时间一长，容易忘记，总要教师提醒.如三角函数的定义，很多学生都说不出其内容，但经教师一讲，他们似乎也懂.其实，这是一种机械记忆学习，他们完全不知三角函数为什么要这样定义，当然也就忘记得快，更就谈不上灵活运用了.究其原因，是新授课知识方法的生成教学存在一点问题，就三角函数的定义而言，学生未能深刻理解“新、旧”两种定义间的因果关系，缺少“为什么要由直角三角形定义三角函数转化为直角坐标系下定义三角函数”的思考.因此，三角函数定义的教学中，要引导学生思考“旧”定义的局限性、如何重“新”定义而突破这一局限、“新”定义能不能与“旧”定义相背等等，真正厘清这些关系后，学生得到的“新”定义才有生命力，记忆时间才长久，才能灵活运用.针对以上分析，笔者设计了以下问题串，引导学生自主发现三角函数的“新”定义.

问题1指出三角函数“旧”定义的困境，明确因果关系，必须要“新”定义三角函数.给出一定时间，让学生思考问题1，并不是要学生能够迅速解决问题1，我们的目的就是要让学生纠结，在纠结中形成烙印.事实上，学生不预习，很难回答问题1，我们也不需要他们预习，预习后回答出“新”定义，那是一种记忆性反馈，实无价值！

图1

问题2为重新定义三角函数，我们得充分认识任意角的形成过程，由此再思考新定义三角函数的方向.

学生通过任意角形成过程的回顾，应该想到，只能在直角坐标系下，重新定义三角函数.并引导学生体会，任意角的始边总是Ox轴，重新定义的三角函数，应该取决于任意角终边的位置，终边相同的角的三角函数值应该相同.不急于引导学生重新定义三角函数，让他们先体会重新定义三角函数的方向、预测终边相同角的三角函数值的关系，有助于培养学生的抽象思维能力.

问题3重新定义三角函数，能不能与“旧”定义(在直角三角形中的定义)相矛盾？

要让学生分析理解“新”、“旧”定义间的关系，厘清“旧”定义是“新”定义的特殊情况，“旧”定义肯定满足“新”定义，“新”定义是“旧”定义的拓展.只有让学生充分认识矛盾双方的关系，我们才能找到化解矛盾的方向，并由此产生的“新”定义，这样学生印象才深刻.

问题4根据以上的分析，要在直角坐标系下新定义三角函数，同时又不能与“旧”定义相背，那我们应该怎样将“旧”定义拓展成“新”定义呢？

问题4就是要引导学生将“新”、“旧”定义融合起来，锐角三角函数在直角三角形中定义，锐角是任意角的特殊情况，于是研究直角坐标系下的直角三角形，即可将锐角三角函数的定义拓展成任意角三角函数的定义.如图2，Ox轴为始边，逆时针旋转至终边OB的最小角即锐角A.

图2

通过问题5的引导，学生自然想到，只要保留锐角A的始边Ox轴以及终边OB(将OB变成射线)即可，而不需要边BC.同时，直角三角形中的元素a,b,c可转化成直角坐标系下的坐标，“新”定义即坐标运算.在图2中，点B的坐标为(b,a)，c为OB长度.如此，稍加处理就能得到课本上任意角的三角函数的定义.

也许有教师会说，我们平时教学与上述处理差不多，只是没有这么仔细而已.确实，上述教学处理是常规处理，课本也是这个思路，然而实际教学中，很多教师是快处理，没有给足时间让学生思考，学生似乎也能听得懂，但忘记得也快.笔者觉得要让学生充分思考上述几个问题，不能只以学生听得懂为目标，而应以学生想得通为目标，要想通矛盾的“因果”关系，要想通由特殊到一般的转化思想，要让学生心灵产生震撼，他们的理解才深刻、才经久不忘！

3.3　导思“本质”

学生当然知道题2是有关基本不等式方面的问题，但却没有思路.根本原因是，他们不理解“用基本不等式解题的实质”.因此，一些陌生的问题，他们缺少解题方向的分析，以致无从下手，他们只会做教师课堂上归纳的一些常规题型.作为教师，要反复引导学生思考基本不等式的本质，并要以“本质”为解题指导思想，引导学生分析，久而久之，学生的理解才深刻、解题思路才清晰，当他们再遇到一些陌生有难度的问题时，他们才不惧怕，才敢于主动思考.笔者以题2为例，设计相关问题，意在让学生把握基本不等式的本质.

问题1为解决题2，我们先来回顾基本不等式及其变形公式，以及运用基本不等式的一些注意点，然后请同学们思考：运用基本不等式解题的实质是什么？

问题2同学们容易想到用基本不等式研究题2，当然也有其他方法，等会儿再研究(本文忽略).用基本不等式解题，关键是和与积的转化，观察题2的代数结构，我们发现“和”式较多，很难发现“积”式.因此，运用“积化和”的可能性不大，那么如何实施“和化积”呢？请同学们尝试着将题2中的“和”式化“积”，看看能不能有所发现？

问题3初步估计运用“和”式化“积”处理题2，那么我们尝试着“和”化“积”的运算中，有没有发现一些规律？提醒同学们注意：研究代数式的指数.

通过问题3，学生容易发现规律：同次式和化积，指数不变；二次式与常数项的和化积，转化为一次项；两个单项式和化积，指数取两个单项式指数的平均数.

问题4题2是分式结构，分母是两个一次式的和，分子两个二次式与常数项的和，怎样利用基本不等式实施“和化积”，达到求最小值的目的呢？

对题2，教师直接分析待定系数法，让学生用基本不等式完成，学生也能听得懂，但为什么这样做？他们不会分析.本文特别关注前3个问题的导思，目的是要让学生透彻理解基本不等式的本质，是要引导学会思考，只有学生养成会思考的习惯，他们遇到陌生问题，才会主动研究、才乐于思考.

4　一点反思

现在想来，笔者之前对“数学理解”存在偏见，认为学生听懂了就是理解了.其实不然，理解水平有高低，看似简单的一个知识点，即使教师也会有不同的认识，有些学生是了解的表象，他们只能根据教师所讲的题型“依葫芦画瓢”，题目稍加变化，往往就束手无策；而有些学生透彻理解其本质，有较强的迁移能力，能够灵活运用.因此，作为教师，要站在学生的角度看问题，全班几十名学生的理解接受能力是不一样的，特别是中下等生，我们怎样设计问题，引导他们思考，促进其理解呢？即使是优生，我们也要促进其深入理解知识方法的本质，进一步提升其理解水平，达到“通解”目的.