基于双重信息不完全条件下的直觉模糊群组决策方法

江登英，王亚雄，张徐军

（武汉理工大学 理学院，武汉 430070）

0 引言

在群组决策问题中，Atanassov[1]对经典的模糊集进行发展与扩展，提出了直觉模糊理论，由于直觉模糊集对模糊现象刻画的同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度三方面的信息，更加细腻地刻画模糊性的本质，因而得到了广泛的应用[2，3]。针对信息不完全条件下的直觉模糊群组决策问题，国内外学者主要从属性权重信息不完全和决策信息不完全两方面进行研究。在属性权重信息不完全条件下：王坚强、张忠[4]提出属性权重不完全的直觉梯形模糊多准则决策的最优线性规划方法；徐泽水[5]提出了一种先进行局部优化再组合赋权的两阶段决策方法等[6，7]。在决策信息不完全条件下：巩在武[8]利用判断矩阵的乘性一致性关系，给出了残缺信息下直觉模糊群组判断的最优排序模型；Laarhoven和Pedrycz[9]给出了残缺三角模糊判断矩阵的最小二乘排序方法等[10，11]。由此可见，现有文献对决策信息不完全和属性权重不完全单方面的研究较多，但是对属性权重信息和决策信息双重不完全条件下的直觉模糊群决策方法研究较少。因此，本文结合前景理论、TOPSIS和灰色关联分析法，提出一种能解决双重信息不完全条件下的直觉模糊群组决策问题的新方法。

1 相关概念和定义

1.1 直觉模糊理论

定义1[2，3]：设是一个论域。若 X 上两个 映 射 μA∶X→[0 ， 1] 和 υA∶X→[0 ， 1] ，使 得 xi∈X|→ μA(xi)∈[0 ， 1] 和 xi∈X|→ υA(xi)∈[0 ， 1] ，则 记 为 A=可简记为分别称μA和υA为A隶属度和非隶属度。如果满足条件0≤μA≤1,0≤υA≤1,0≤μA+υA≤1，则 μA和υA确定了论域X上的一个直觉模糊集（IFS）,其中πA(xi)=1-μA(xi)-υA(xi)为xi隶属于A的犹豫度，也称直觉模糊指数。

定义 2[12]：设 a1= μa1，υa1和 a2= μa2，υa2是直觉模糊集A上的两个直觉模糊数，则a1与a2之间的Hamming距离为：

1.2 残缺直觉模糊决策矩阵和理想方案

现有m个非劣（或有效）方案xi(i = 1，2，...，m )组成的方案集X={x1，x2，...，xm} ，t个决策者（或专家）el(l = 1，2，...，t)组成一个决策群体对每个方案关于n个属性（或目标）oj(j =1，2，...，n )进行评价，记属性集为O={o1，o2，...， on} ，假设决策者el对方案xi∈X关于属性oj∈O的评价值可表示为直觉模糊数其中和分别表示决策者el对方案xi关于属性oj所给定的满意度（或隶属度）、不满意度（或非隶属度），表示犹豫度。于是，决策者el对方案xi关于所有属性的评价结果可以用向量表示为：

定义3：直觉模糊正理想方案x+和直觉模糊负理想方案x-，记为：

其中：

然而在实际问题中，有些决策者对于方案xi关于属性oj的评价信息不能（或不愿意）给出，导致直觉模糊决策矩阵Rl出现残缺，本文把信息有缺失的直觉模糊决策矩阵称为残缺直觉模糊决策矩阵，对于残缺元素，记为×。例决策者el对方案x1关于属性o2的评价信息不能给出，则=×，即：

1.3 前景理论

前景理论是从心理学角度诠释影响人类行为决策的非理性因素，其认为人们对待收益风险和损失风险的心理是不对称的：面临方案收益时，往往对风险回避；面临方案损失时，则趋向于对风险追求。

Kahneman和Tvsersky[13]的前景理论由决策权重函数和价值函数确定，即：

其中，g(p)为决策权重函数，h(x)为价值函数。

而Tvsersky等定义的价值函数为如下的幂函数：

其中，α为风险偏好系数，β为风险规避系数，θ为收益与损失的敏感系数。

Tvsersky等定义的决策权重函数如下：

其中，p为判断概率，γ为风险态度系数。

2 双重信息不完全条件下的直觉模糊群组决策方法

为了解决双重信息不完全条件下的直觉模糊群组决策问题，这里给出了一种基于前景理论的风险决策新方法，具体步骤如下：

2.1 建立正负灰色关联系数矩阵

依据前景理论，本文采用TOPSIS思想，以正（负）理想方案为参考点来衡量决策的收益和损失。根据定义3可确定正理想方案x+和负理想方案x-，又由灰色关联分析法可知，决策者el关于方案xi与正（负）理想方案x+，x-的关联系数分别为：

则个体决策者el直觉模糊评价下的正负关联系数矩阵可以表示为若直觉模糊决策矩阵出现残缺，例 Rl，则

2.2 构建正负前景价值矩阵

本文将前景价值函数代替灰色关联系数[14，15]，依据前景理论，若方案优于负理想方案，则方案是收益的，人们常常回避风险。若方案xi劣于正理想解方案，则方案是损失的，人们常常追求风险。

在决策者el的直觉模糊评价下，方案xi的各准则对应的前景价值函数为：

根据Kahneman和Tversky[16]的试验测定，式中θ=2.25，α=β=0.88。决策专家el评价下的正负前景矩阵为如果直觉模糊决策矩阵出现残缺，例Rl，则在后续计算中，将当作0计算。

在决策者el的直觉模糊评价下，方案xi的各准则对应的决策权重函数为：

其中，根据Kahneman和Tversky[16]的试验测定，式中r+与r-分别取0.61和0.69。

2.3 构建最大综合前景值改进模型

在决策者el评价下，若直觉模糊决策矩阵没有残缺元素，则方案xi的前景值为正前景值与负前景值之和：

但是在实际问题中，决策者el往往由于某些原因，对于方案xi在属性oj下不愿意或者不能给出评价信息，导致直觉模糊决策矩阵出现残缺，因此需要对模型进行改进[15]：

因每个方案xi的评价结果由专家组共同决策，故需对群体专家关于方案xi的前景值加以综合，本文采用加权算术平均（WAA）算子[17]进行信息集结，即得群决策下方案xi的综合前景值模型如下：

依据方案综合前景值越大越好，构建所有方案综合前景值最大的非线性改进模型：

其中ωj是属性oj对应的权重，wl是决策者el对应的权重，W*是最优属性权重向量，H是部分已知属性权重组成的集合。利用MATLAB中的遗传算法工具箱对优化模型求解，由于遗传算法每次测算的结果会有细微的差别，为了得到更加可靠的结果，本文选取100次测算结果中maxD最大值对应的权重向量作为最优属性权重向量W*=( )ω1，ω2，...，ωn。

2.4 计算综合前景值以及方案排序

将最优属性权重W*=(ω1，ω2，...，ωn)带入公式(9)求得方案综合前景值向量D=(D1，D2，...，Dm)'，根据各方案综合前景值Di的大小将方案进行排序。

3 算例分析

本文在文献[15]的基础上提出了解决双重信息不完全条件下的直觉模糊群组决策问题的方法，适用性较广，步骤也较为简化。为了检验本文所提出方法的可行性和有效性，下面通过算例分析，在属性权重不完全条件下、决策信息不完全或者完全两种情景下分别加以分析验证。

3.1 决策信息不完全

rl

ij5×5如下：

（1）确定正负理想方案如下：

根据公式(5)计算得到正负关联系数矩阵如表1至表8所示。

表1 关联系数矩阵η+1

表2 关联系数矩阵η+2

表3 关联系数矩阵η+3

表4 关联系数矩阵η+4

表5 关联系数矩阵η-1

表6 关联系数矩阵η-2

表7 关联系数矩阵η-3

表8 关联系数矩阵η-4

（2）由公式(5)和公式(6)计算得到正负前景价值阵如表9至表16所示。

表9 前景价值矩阵H+1

表10 前景价值矩阵H+2

表11 前景价值矩阵H+3

表12 前景价值矩阵H+4

表13 前景价值矩阵H-1

表14 前景价值矩阵H-2

表15 前景价值矩阵H-3

表16 前景价值矩阵H-4

（3）根据公式(10)构建最大综合前景值模型，在测算过程中，将×看作0计算,即：

利用MATLAB中的遗传算法工具箱对优化模型求解，得到最优的属性权重向量W*=(0.1364，0.2000，0.1500，0.2003，0.3122)。

（4）将最优权重向量带入公式(9)，得到各方案最优综合前景值：

根据综合前景值的大小对方案排序，可得决策结果为：x4＞x3＞x5＞x1＞x2。

3.2 决策信息完全

若对决策专家给出的决策信息完全信任，不删除信息，采用本文方法得到的属性权重向量W*=(0.1001，0.2000，0.1500，0.2000，0.3489)，带入公式(9)得各方案最优综合前景值：

D=(-0.1163， -0.1411， -0.1253， -0.1001， -0.1250)'

根据综合前景值的大小对方案排序，从而得到决策结果为：x4＞x1＞x5＞x3＞x2。

3.3 算例结果的对比分析

本文提出的方法与文献[18，19]得到的决策结果进行对比分析，结果如表17所示。

表17 算例结果对比

根据表17，应用本文提出的方法得到的决策结果与文献[18，19]进行对比分析如下：如果对于决策信息完全信任，则得到的排序结果完全一致；如果对于犹豫度的决策信息表示怀疑，则方案x1和x3位置互换，但是最优方案仍然为x4，其他方案的排序也相同。由此可见，本文提出的方法和模型对于属性权重和直觉模糊决策信息不完全条件下的群组决策问题，具有一定的研究意义。

4 结论

基于前景理论构建最大综合前景值非线性改进模型，并将其运用到双重信息不完全的直觉模糊群决策问题中，通过算例的结果对比分析，得出采用本文提出的方法和模型解决属性权重、直觉模糊决策信息不完全条件下的群组决策问题，具有理论上的可行性和应用上的有效性。