体外束对波形钢腹板简支箱梁自振频率的影响

李 杰，周亚鹏，陈 淮

郑州大学土木工程学院，河南郑州 450001

波形钢腹板组合箱梁采用波形钢板置换混凝土箱梁中的混凝土腹板，使箱梁成为由钢筋混凝土顶底板和波形钢腹板组成的组合结构，充分利用了混凝土抗压和波形钢腹板抗剪强度高、梁体自重轻、顶底板预应力效率高的优点，是一种经济、合理、高效的桥梁主梁结构形式[1]．已有研究表明，波形钢腹板组合箱梁抗弯刚度较传统混凝土箱梁略低，但前者的自重也较后者低，因此可认为波形钢腹板组合箱梁的竖弯自振频率较传统混凝土梁桥略高[2]. 针对体外束对波形钢腹板箱梁自振特性的影响，文献[3]推导了波形钢腹板简支箱梁在体外预应力作用下的自振频率计算公式，并通过缩尺模型试验和有限元法研究了体外预应力束张拉力对波形钢腹板自振频率产生的影响．预应力对波形钢腹板组合箱梁自振特性影响较小[3]，但一些研究显示随着体外束张拉力增大结构自振频率减小[4]，而另一些研究则显示自振频率增大[5]．考虑到桥梁结构的自振特性是其工作性能和抗震、抗风等动力性能分析的重要参数，《公路桥涵设计通用规范》(JTG D60—2015) 中公路汽车荷载冲击系数的计算也仍然是以桥梁基频为参数，桥梁结构的自振特性就成为结构设计的重要基础数据．即使预应力张拉对波形钢腹板组合箱梁的自振特性影响很小，也有必要对解析推导和试验数据给出解释．因此，本研究讨论了预应力张拉对自振的影响，对试验结果进行解释，明确预应力的张拉究竟是使自振频率增大还是使自振频率减小．且以一个配置体外束的简支波形钢腹板箱梁的微分方程为例，推导体外束对自振频率的影响，并基于有限元数值方法，从预应力张拉引起混凝土材料弹性模量的变化的角度解释试验结果．

1 考虑体外预应力波形钢腹板简支梁的自振频率公式推导

1.1 波形钢腹板简支梁弯曲振动微分方程

波形钢腹板简支梁在体外预应力作用下的弯曲振动微分方程[6]可表示为

(1)

简支波形钢腹板箱梁的体外束布置为双折线，如图1．为了推导式(1)，假设材料均处于弹性范围，忽略波形钢腹板的轴向刚度；仅考虑其剪切刚度；不计顶底板剪力滞效应，且其连接部位无滑移；不考虑沿梁跨方向的预应力损失．

图1 简支波形钢腹板箱梁的体外束布置Fig.1 Arrangement of external strand of simply supported box beam with corrugated steel web

体外束的预加力随着梁的振动变化，故可设

(2)

(3)

(4)

1.2 预应力变化量和梁位移的关系

为求解方程(4)，首先需考虑梁体振动位移y(x,t)与预应力的改变量之间的内在联系．体外束波形钢腹板预应力组合简支梁结构如图2．波形钢腹板预应力简支梁在振动过程中， ΔNp随振动位移y(x,t)的改变而变化，由于位移y(x,t)随梁体振动变化很小，因此，可以近似认为ΔNp与梁体跨中竖向位移y成正比．为计算ΔNp与y的比例系数，在跨中作用一个集中力F， 先得到ΔNp与F的关系，再得到F和y的关系，最后经过变换得到ΔNp和y的关系．

将预应力筋拉力作为多余未知力X1去掉多余约束得到基本体系，如图2所示．求解单位力X1以及跨中集中力F作用下的弯矩图．建立变形协调方程为

δ11X1+Δ1F=0

(5)

(6)

其中，N1和M1分别为单位力和基本体系上产生的轴和弯矩；NF和MF分别为外力F作用在基本体系上产生的轴力和弯矩；δ11是单位力在基本体系上产生的位移；EAc是梁截面的抗拉压刚度．在跨中位置作用一个集中力F时，可以计算得出简支梁跨中竖向挠度为

(7)

图2 波形钢腹板简支箱梁基本体系的受力图Fig.2 The basic system’s force diagram of simply supported box beam with corrugated steel web

静载作用下剪切变形对梁的挠度影响较大[7]．考虑波形钢腹板的剪切变形影响及跨中作用集中力F， 修正后的简支梁跨中竖向挠度为

(8)

(9)

由位移互等定理，可得ΔNp在中点产生的向上位移为

(10)

跨中在F作用下产生的竖向位移为

y=yF-yΔNp=

(11)

则

ΔNp=φy

(12)

由此可得到预应力变化量ΔNp和简支梁跨中位移y的关系表达式．由于波形钢腹板箱梁和普通混凝土箱梁的差异主要在腹板，而波形钢腹板的剪切变形对箱梁挠度的影响较大，故本研究在计算波形钢腹板简支梁跨中挠度时，计入了波形钢腹板剪切变形的影响，这是波形钢腹板箱梁与普通混凝土箱梁挠度计算中最主要的差别．

1.3 等效偏心距H求解

H为等效偏心距，由于预加力在梁上的弯矩沿梁轴线是不均匀变化的，为简化计算，将预应力作用弯矩，采用面积相等的原则，等效为沿梁均匀分布[8]，其中预应力和次内力引起的弯矩为

Mp=M1Np

(13)

Mp弯矩图面积表达式为

S(Mp)=S(M1)Np

(14)

其中，S(Mp)和S(M1)分别为相应弯矩图的面积．那么波形钢腹板简支梁的等效偏心距为

(15)

则可得波形钢腹板简支梁自由振动方程为

(16)

1.4 波形钢腹板简支梁频率求解

由式(16)得波形钢腹板简支梁自由振动方程为

(17)

采用分离变量法求解微分方程(17)，并根据简支梁边界条件确定积分常数，则波形钢腹板简支梁的自振频率为

(18)

(19)

式(19)可表示体外预应力对波形钢腹板简支梁自振频率的影响．可见预应力对梁自振频率的影响随着振型阶次n的升高而减小，因此可以通过低阶频率探讨预应力张拉对波形钢腹板梁自振特性的影响．当n= 1时得到基频为

(20)

2 自振频率计算及体外束影响分析

以某波形钢腹板箱梁实桥为例，应用式(20)计算波形钢腹板组合箱梁的自振频率，桥梁参数主要有：E=3.6×104MPa，I=15.193 5 m4，m=2.21×104kg/m，L=50 m，由式(19)可得

其中，N为单根钢绞线张拉力大小．计算可知，不考虑体外束张拉时，ξ=1， 考虑体外预应力束时，ξ=0.989 6， 对应的1阶竖向自振频率分别为3.126 Hz和3.093 Hz．

图3 ξ随着张拉力N的变化曲线Fig.3 The curve of ξ-N

为探讨ξ随N变化的规律，此处取桥梁工程预应力张拉常用的范围(0.5fpk～0.8fpk)， 对应的单根张拉力取130 ～210 kN，则由式(19)可得ξ随张拉力N的变化曲线(图3)．由图3可知，在预应力张拉范围内， 0<ξ<1； 当预应力增大时，ξ逐渐减小．这表明施加体外预应力将使波形钢腹板简支梁的频率减小，这与结构力学的认识一致，产生该结果的主要原因是由于预应力的施加会产生应力软化效应，几何刚度矩阵引起结构总刚度降低，进而结构的频率降低，同时也可以看出，预应力张拉对波形钢腹板组合箱梁自振频率的影响较小．上述结论可以解释预应力张拉后结构自振频率降低的原因，但该结论与一些模型试验结果不吻合，不能解释试验中所反映出来的数据．由于自振频率的解析公式仅与质量和刚度有关，结构确定后结构的质量和几何尺寸就确定，但刚度EI还与弹性模量E有关，预应力的张拉闭合了混凝土结构中的微裂缝进而使刚度增大，同时预应力的张拉使混凝土处于复杂应力状态，对弹性模量E有影响．这些为试验数据的解释提供了另一个方向．下面采用数值方法，考虑预应力张拉分析波形钢腹板箱梁的自振频率．

3 考虑预应力影响的波形钢腹板箱梁的自振频率有限元求解

3.1 预应力在数值软件中的处理方法

数值软件中模拟预应力的方法主要包括外荷载法和整体法两大类．外荷载法是以荷载来替代预应力钢筋的作用，如等效荷载法．该法适用于静力分析，但与结构的实际受力情况不符．整体法综合考虑两者作用，如在ANSYS软件中用杆单元模拟钢束，采用初应变或降温法在钢束上加载预应力，并通过耦合作用传递预应力到混凝土上．整体法更符合混凝土结构的实际受力，因此本研究采用初应变施加预应力．

假设结构材料是理想均质，在进行有限元分析时预应力的施加会使结构几何刚度矩阵发生变化，导致预应力混凝土梁自振频率减小，这与本研究推导和经典力学理论结果一致，但与模型试验数据不符[5]．分析试验结果，预应力张拉除了会产生应力软化效应降低结构的刚度外，还会使混凝土处于复杂应力状态，复杂应力状态下的混凝土极限强度比单向应力状态下的强度大，理论和试验证实混凝土的强度与弹性模量相关，因此可通过建立预应力与混凝土弹性模量的相关关系对复杂应力状态下的弹性模量进行修正[9]．

结合复杂应力状态下混凝土梁的大量试验数据[10]，采用回归分析的方法可找出预应力与混凝土弹性模量的关系[9-11]为

(21)

其中，y=Eq/Ec表示混凝土弹性模量的增加倍数，Eq为等效的弹性模量，Ec为实际弹性模量；N为施加的预应力大小；e为偏心距；h为箱梁截面高度；fck为混凝土抗压强度标准值；a、b和c为拟合公式的系数，a=-6.651 418 8×10-3，b=7.512 877 8×10-3，c=2.409 094 7×10-3．

3.2 模型试验数据的验证

为验证本研究方法的可行性，参考文献[5]给出的单箱双室波形钢腹板梁模态试验，建立ANSYS实体有限元模型，采用初应变施加预应力并修正弹性模量进行模态分析，与试验结果进行对比．采用的单箱双室波形钢腹板组合试验箱梁总跨径为5.2 m，计算跨径为5 m，其顶、底板均为5 cm厚的C50混凝土，腹板为3 mm厚的波形钢腹板，预应力钢束的公称直径为φ15.24 mm，其截面尺寸、波形钢腹板参数及试验梁立面如图4[5]．

图4 文献[5]中的模型试验梁(单位：mm)Fig.4 Model test beam in the Reference[5] (unit: mm)

采用有限元软件ANSYS建立该模型试验箱梁的数值模型．依据结构特点，采用Solid65单元模拟顶、底板混凝土实体，波形钢腹板采用壳单元Shell63模拟，预应力钢束利用杆单元Link10来模拟，预应力钢束单元通过与梁体耦合实现共同受力，边界条件按照模型试验梁实际位置简支约束，预应力的施加采用初应变法并修正弹性模量．模型中体外束预应力损失仅考虑弹性压缩损失，不考虑混凝土的收缩徐变效应．分析对比结果见表2，其中，f为式(20)计算模型梁的基频解析解；f1为采用“初应变”方法施加预应力但不修正混凝土弹性模量；f2是在考虑预应力张拉的基础上修正混凝土的弹性模量所得出的有限元结果；f0为该波形钢腹板梁的模型试验实测数据[5]．

表2 本研究与文献[5]有限元结果对比

1)ai=fi-f0/min(f0,fi);i=1,2

由表2可知，利用本研究解析式(20)得到波形钢腹板体外束张拉后的自振频率为f有一定减小，试验梁的自振频率试验结果f0和有限元解fi(i=1，2)的第1阶竖弯频率偏差小于5%；施加预应力并修正混凝土弹性模量后，与试验结果相比，偏差变小且频率的变化趋势与试验结果吻合．因此可认为预应力的张拉不仅使波形钢腹板箱梁应力软化，且预应力使混凝土处于复杂应力状态，材料的弹性模量与单向应力状态下的弹性模量不同，通过弹性模量修正和考虑预应力效应，数值分析可以解释模型试验结果．

4 结 论

1)考虑预应力效应的波形钢腹板组合箱梁振动微分方程的推导表明，预应力张拉产生应力软化效应引起结构总刚度降低，波形钢腹板组合箱梁结构的频率降低．此外，考虑到波形钢腹板箱梁和普通混凝土箱梁的差异，波形钢腹板的剪切变形对箱梁挠度的影响较大，理论推导分析应计入波形钢腹板剪切变形的影响．

2)对于研究中的试验模型梁，预应力张拉对波形钢腹板组合箱梁结构的刚度影响较小，由ξ随N变化的规律可以看出，在桥梁工程中预应力张拉范围(0.5fpk～0.8fpk)内，预应力张拉对自振频率的影响很小．

3)预应力的张拉不仅使波形钢腹板箱梁应力软化，且预应力使混凝土处于复杂应力状态，材料的弹性模量与单向应力状态下的弹性模量不同，通过弹性模量和预应力效应的综合考虑，体外束的张拉使波形钢腹板简支箱梁自振频率增大．