MURC 视域下圆的意义的获取与表征的教学程序设计

陆有海

（作者单位：浙江绍兴文理学院）

一、回顾已知图形，搭建基础平台

圆是几何图形，圆是一个几何图形的数学概念。任何数学概念都有自己的知识结构，几何图形的数学概念也有自己的知识结构，这种知识结构一般由两部分组成：概念的意义与表征方式。数学的创造过程是一个数学化的过程，数学化分为横向数学化与纵向数学化，由生活到数学的几何图形概念的数学创造过程是一个横向数学化的过程，显然，在人的主观能动作用下，在人的想象与推理的作用下，通过纵向数学化也可以实现几何图形概念的数学创造。

二、创设生活情境，明确研究对象

根据圆形概念与其他几何图形概念的关系，我们选择横向数学化的创造方式。利用实物展示或投影，为学生进行几何图形概念的研究与创造提供丰富的材料。

图1：生活中的圆形

三、描绘物体形状，经历抽象过程

在生活中，圆形物体，有的在天上，有的在地上，有的家中用，有的路上跑。在数学中，圆形是一个图形，它在书上，它在你的作业纸上。为什么生活中的圆形会跑到书中去呢？它又是怎样跑进去的呢？

1．观察想象，感知圆形。

让学生观察触摸生活中的圆形物品，初步感知一种物体表面的“圆圆”形状；让学生闭眼想象物体表面的“圆圆”形状，初步体验由客观物体到思维形象的抽象过程。

2．意念描绘，实体勾勒。

圆形的精准制作是一件困难的事件，我们必须给学生搭建突破难点的脚手架,让学生经历由易到难的圆形图形的绘制过程。首先，用手指指着物体表面的边缘，慢慢地想象着描绘物体的圆形边缘；其次，用手指在桌面（或练习纸）描绘某一物体表面的圆形形状；第三，用铅笔在练习纸上画出某一物体表面的圆形形状，感知自己画出的（不像的、不好的）圆形形状；最后，引导学生思考，有没有东西的圆形形状，可以比较好地把它画出来？让学生用硬币实物帮助描绘圆形形状，从而为进一步研究“圆”奠定了基础，为探求数学方法画圆形图搭建了有效平台。

四、探究图形特征，完善知识结构

图2：圆上两点之间线段长度变化规律的研究

1．第一次发现圆上最长的线段。

（1）操作感知，理性推测。

如图2所示，在用硬币描绘成的圆形图上取一点A1，朝着圆形上的另一点B1，可以走出一条路，也可以测出这条路的路程；同理，从A1出发，我们还可以朝着B2走出一条路，并测出这条路的路程。这样，我们便有了这样两个问题：一是圆形上的线段A1Bx可以作多少条？LA1Bx的值一直都会越来越大吗？如果不会越来越大，那么什么时候开始变小的呢？

显然，使得LA1Bx>LA1Bx-1的线段可以作出无数条，但不等于这种关系永远能够成立。

显然，由LA1Bx>LA1Bx-1到LA1Bx

如图2（左）所示，当LA1Bx=4.00厘米时，圆形上两点之间的线段长度达到了最大值。显然，在这样的情境下，这样的线段，有且只有一条。

（2）凭借经验，创造数学。

根据“距离”的学习经验，这种变化中不变的最长线段，一般都要给出独有的名称，这就是圆的直径。为什么会叫做直径？这是一个非常有意思的问题，这要回到生活情境当中来体悟了。我们平时行走的轨迹都叫做“路”，有时称作路径，因此，在圆形上，从一点走到另一点的轨迹也可以叫做路径，这条最长的直直的路径，我们可以简称为直径。

2．第二次发现圆上最长线段的特性。

（1）重复操作，偶遇半径。

从一个固定的点出发，作圆形上的线段，有一条最长的线段。如果固定的点的位置发生变化会怎样呢？是不是也会出现这样一条最长的线段呢？这两条线段会以什么样的形态出现在我们面前呢？如果相交又会出现什么情况呢？如图2（右）所示，我们重复第一次发现最长线段的操作，找出同一个圆形上由点出发的最长线段。这时，我们把不是最长的线段全部擦除，剩下两条最长的圆形上的线段，如图3所示。引导学生观察两条最长线段相交的交点，分别把各自的线段分成了两部分，形成了四条线段。观察这四条线段的长度，通过想象猜测与测量验证，惊喜地发现：圆上两条最长的线段相交并且相互分割成相等的四段，如图3所示，而且每段都是直径的一半，因此，可以把它叫做圆的半径。

图3：直径相交于同一点（圆心）

（2）猜测验证，发现圆心。

想象猜测之一：两条直径相交于一点，这一点把直径分成了相等的两半。那么，再作一条这样的直径，是否还会相交于这一点呢？

想象猜测之二：两条直径相交于一点，那么，通过这一点的圆上的每段是不是一定是直径呢？

通过实际操作与测量，发现圆上所有的直径都相交于这点，并且只有通过这一点的所有圆上的线段都是直径。

通过实际操作与测量，我们还发现交点到圆上的任何一点的线段都相等，而且都等于直径的一半。因此，这一点到圆上任一点的距离都相等的这一点是圆的中心点，我们可以把它叫做圆心。

五、研究圆形特征，创造画圆方法

研究数学就是研究解决实际问题的数学方法。开始，我们随手画圆，画得很不圆，只有借助实物模型才能把它真实地描出来。如果无法借助实物模型描绘圆形，那么我们该怎么办？

1．画圆的策略思想。

我们已经知道：圆有圆心，有半径；我们也可以通过推测知道：圆上的点可以由圆心与半径来决定。因此，我们的结论：如果知道圆的位置，如果知道圆的半径，那么就可以找出圆上的点。画出所有圆上的点，圆形也就画出来了。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。

2.画圆的操作技术。

第一步：实际测量实体圆的直径，通过计算获得圆的半径；第二步：确定画圆的位置，也就是定好圆心；第三步：根据测量距离的经验，依据半径长度确定圆上的一个点；第四步：以此类推，画出圆上所有的点；第五步：第一步到第四步的操作技术的改良，形成类似于圆规的画圆工具，并介绍圆规的结构、功能，诠释圆规的作图原理。

六、总结探究结果，明确圆的意义

通过自己的探索发现与创造，我们知道了圆心、半径与直径，也知道了圆上的点是离开圆心的距离是半径的点，“圆”是这些点的一个集合。圆的半径决定圆的大小。画圆的方法，分为几种情况：一是画随意的圆，只要在平面（物体的表面，即纸或板等）上，确定任意一点作为圆心，取任意可取的长度作为半径，画出圆上的所有点就行；二是画确定大小与确定位置的圆，这时，你必须找到确定的点作为圆心，必须以规定的长度作为半径长度，才可以画出圆上的所有点；三是画某个实物表面上的圆，这时，你必须自主确定画圆的位置，必须测量实物表面上的圆的直径（或者半径），才可能将实物表面上的圆，画到你需要的平面（设计图纸或练习纸）上。

通过总结回顾，我们知道了圆是到定点（圆心）距离（半径）都相等的点的轨迹（集合）。

七、交流研究结论，拓展研究思路

自然现象含有动静两种状态。“圆的意义的获取与表征”的过程是基于静态现象观察感知为逻辑起点的探索发现过程，这是一次“圆的认识”教学设计的全新探索，充分体现了人认识客观世界的自然性与逻辑性。事实上，与圆相关的自然现象还存在着一种动态现象，如，摩天轮、风车或绳子一端吊上一个物件手拿住另一端用力甩动等，如果对这种动态现象进行想象与抽象，那么对于认识圆的圆心、半径、动点轨迹等数学概念会具有更丰富的直观支持。