高考对圆锥曲线的考查及创新教学思路分析

张清强

【摘 要】圆锥曲线是高考数学的重点、难点和热点，是高中数学学科的核心内容之一。在2017年普通高等学校招生全国统一考试理科卷中圆锥曲线的内容有24分，都是以中难题的形式出现。试题充分体现了以主干知识为重点，以通性和通法为方法，考查了平面解析几何的思想、方法及学生的运算能力、数学素养。本文通过对圆锥曲线方程试题中所考查的知识点和解题方法进行分析，提出创新圆锥曲线教学的一些建议。

【关键词】高考理科卷 圆锥曲线 创新教学

2017年高考全国卷理科卷在圆锥曲线方面的考点变化不大。就知识结构而言，体现了突出主干知识、回归教材的思路，重点考查了圆锥曲线核心知识，体现了圆锥曲线与其他知识点的交汇。就对方法、能力的考查来看，试题有效考查了学生逻辑推理、数形结合、运算求解等方面的能力。在圆锥曲线的教学实践中，我们多研究高考试题，在把握命题思路和特点的基础上，创新教学思路，对于提高课堂教学效率和学生解题能力至关重要。

一、试题分析

例 已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上。

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

上述例题是2017年普通高等学校招生全国统一考试理科卷中的试题，考查的是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系。

二、解题思路

解题思路：根据P3，P4两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过P3，P4两点，另外由1/a2+1/b2>1/a2+1/4b2知，C不经过点P1，所以点P2在C上，因此P2，P3，P4在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；

先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：y=kx+m（m≠1），将y=kx+m代入x2/4+y2=1，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出k1+k2，根据k1+k2=-1列出等式表示出k和m的关系，从而判断出直线恒过定点.

解题方法：（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点.

又由1/a2+1/b2>1/a2+1/4b2知，C不经过点P1，所以点P2在C上。因此1/b2=1，1/a2+1/4b2=1，进一步解得a2=4，b2=1，故C的方程为x2+y2=1.

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t≠0，且ItI<2，可得到A，B的坐标，进一步得t=2，不符合题设.

从而可设l：y=kx+m（m≠1）.将y=kx+m代入x2/4+y2=1得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0.

由题设可知Δ=16（4k2-m2+1）>0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-8km/4k2+1，x1x2=4m2-4/4k2+1.

而k1+k2=（y1-1）/x1+（y2-1）/x2=（kx1+m-1）/x1+（kx2+m-1）/x2

=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）/x1x2.

由题设k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0.

即（2k+1）·（4m2·4）/（4k2+1）+（m-1）·-8km/4k2+1=0.

解得k=-（m+1）/2.

当且仅当m>-1时，Δ>0，于是l：y=-（m+1）/2·x+m，

即y+1=-（m+1）/2·（x-2），所以l过定点（2，-1）.

三、基于高考考查点的圆锥曲线创新教学策略

1.回归本质 活学活用

圆锥曲线的定义是解答圆锥曲线试题、推导曲线方向的最根本依据，在圆锥曲线的定义中展示了三种曲线的性质与几何特征，以圆锥曲线定义为基础，也是解题最直接的方法。在圆锥曲线教学过程中，要贯彻“源于课本，高于课本”的原则。高考并不神秘，它注重对基础知识、基本技能、数学思想方法的考查，很多试题的根源在于课本，经常是课本例题的变式题，在教学时只要弄清高考知识点及对学生基础知识与应用能力的要求，重视课本的基础作用，活学活用，就可以达到事半功倍的效果。

2.知识交汇 突破城规

圆锥曲线试题解答中熟练掌握基础知识、强化通性通法、渗透数学思想才是解题的关键所在。高考命题的热点是直线与圆锥曲线的位置关系，解题的基本思想在于将直线方程带入曲线方程，结合韦达定理、判别式，这类综合题涉及的问题较多，解题时要注重知识的交汇。在日常教学活动中，需要指导学生注重方法提炼，掌握好通性通法，才能在考试中有的放矢。

3.提升素养 创新发展

高考圆锥曲线试题注重基础知识、基本方法与技能的训练，注重数学思想的渗透，使学生综合运用所学知识进行探索研究。在教学实践中应着重培养学生的创新意识，可以通过一题多解、一题多变等方式强化学生的发散思维，激发学生的探索兴趣。就高考考纲对能力的重新界定可以看出，高考试题考查的是学生解题过程中的知识运用、方法确定、算法选择和创新意识。

本文所选择的试题对圆锥曲线方程的考查主要还是通过常规问题考查基礎知识及基本思想方法。解答试题的关键在于根据题设所给出的几何关系和条件，结合圆锥曲线定义，确立未知量方程或未知量不等式。从圆锥曲线在高考中所占的比重和分值，不难看出解析几何内容在高中数学中的重要性，因解析几何讲究的是通性通法，在日常教学中不仅要指导学生熟练掌握基础知识，还要注重数学思维与数学素养的提升，让学生在思考、分析、理解的过程中，进行学习与创新。

参考文献

[1]周虹.圆锥曲线教学中的思与行[J].科学大众：科学教育，2017 （6） .

[2]俞新.新课程下高中数学中圆锥曲线教学[J]. 数理化解题研究，2017（9）.