整周跳变的探测与修复──GNSS动态载波相位测量的数据处理方法之四

刘基余，陈小明

（武汉大学测绘学院，武汉 430079）

GNSS载波相位测量，只能测量载波滯后相位1周以内的小数部分，不能测量载波滯后相位的整周数（N0）；其后的载波滯后相位整周数变化值（称之为始后周数），是通过多普勒积分由电子计数器累计读得的。由于GNSS信号接收机自身故障或者GNSS信号意外中断，导致载波锁相环路的短暂失锁，而引起多普勒计数的短暂中断；当载波锁相环路重新锁定后，多普勒计数又重新开始，以致造成载波滯后相位整周数变化值（始后周数）的不连续计数；这种多普勒计数的中断现象，叫做整周跳变，简称之为周跳（Cycle Slip）。

当GNSS载波相位观测值没有发生周跳时，卫 星一次通过的载波滯后相位整周数是连续的，各时元（时元）的观测值都会含有一个共同的整周未知数，即时元t1的整周模糊度N0，当发生周跳时，其后所有的载波相位观测值都会含有一个偏差Δ，该偏差就是中断期间所丢失的整周计数，即周跳后的载波相位观测中含有未知数N0+Δ。

所谓周跳的探测就是利用观测的信息来发现周跳。在探测出周跳后，利用观测信息来估计丢失的周数Δ，从而修正周跳后的载波相位观测值，称之为周跳的修复。在探测出周跳之后，也可将N0+Δ视为周跳后的整周模糊度而利用平差的原理解求出这个未知参数，这是一个整周模糊度的求解问题。

静态定位中，由于接收机静止不动，周跳的探测与修复问题已得到了很好的解决。在动态环境下，由于动态接收机在不断地运动中，周跳的探测与修复比静态定位要困难得多。

由于GPS信号接收机能提供多种观测信息，利用这些观测信息本身的相互关系（无需轨道信息），可以对周跳进行探测和修复，目前主要有下列方法：

利用载波相位及其变化率的多项式拟合来探测、修复周跳（多项式拟合法）；利用伪距和载波相位观测值组合来探测、修复周跳（伪距/载相组合法）；利用双频载波相位组合观测值来探测、修复周跳（电离层残差法）。

1 多项式拟合法

从载波相位测量的特性可知，周跳前后，载波相位不再是连续函数，但其变化率则是连续函数，且为载波相位的严格一阶导数。利用载波相位变化率、载波相位观测值可对周跳进行探测和修复。

加拿大学者Canon于1989年建议采用下模型来探测周跳：

式中，是载波相位观测值；是载波相位变化率。

中国陈小明博士于1993对上述模型进行适当扩充，而可得到多项式拟合法。它基于周跳前后载波相位观测值符合如下多项式模型：

式中，φ为以周表示的载波相位观测值；ΔN为周跳数；a0，a1，a2，a3为待求系数。载波相位变化率是载波相位的一阶导数，故载波相位变化率可写为

现选取5个时元的载波相位观测值及其变化率：

并假设前4个时元的载波相位观测值（φ1，φ2，φ3，φ4）没有周跳，而用它们来探测和修复第五个时元的载波相位观测值φ5的周跳；依此列立如下误差方程：

根据最小二乘原理可解得

若解得的|ΔN|＞ε（ε为给定限值），则说明第五个时元的载波相位观测值φ5存在周跳，其周跳估值为ΔN。这种方法假定在给定区间内载波相位变化率为匀加速变化，在实际动态定位中，若目标动态变化较大，则会产生较大的模型误差。现据1996年3月18日在海南省海口市所作的机载GPS测量成果，对上述多项式拟合进行解算实践。该次机载GPS动态载波相位测量采用1秒数据采样率，依此用多项式拟合法探测25号卫星L1载波相位测量的周跳；图1、图2、图3分别表示飞机处于静止待飞、常规直线飞行和加速起飞段的周跳探测结果（数据本身没有周跳）。图2、图3中黑线为飞机速度。从图1可见，对于GPS静态数据，多项式拟合法所得到的ΔN均小于0.1周，故可探测出GPS静态定位的所有周跳。图2的结果表明，当载体作近似匀速直线运动时，多项式拟合法可以探测出大于2周的周跳。图3的结果表明，由于飞机加速起飞时，特别是离地后，动态变化不稳定，ΔN计算值噪声较大，但对于大部分时元ΔN的计算值小于2周，个别时元虽然大于2周，但小于5周。因而可选取|ΔN|＞5为判断是否有周跳的标准。该方法的优点在于可分别对L1及L2非差载波相位观测值或双频组合观测值进行周跳探测。但该方法需用到载波相位变化率观测量，而不适用于不能提供载波相位变化率观测值的GPS信号接收机。

图1 多项式拟合法能修复出GPS静态定位的所有周跳

图2 多项式拟合法能修复出准匀速直线运动的GPS动态定位的大于2周的周跳，其精度损失不会大于0.5m

图3 多项式拟合法能修复出加速航行的GPS动态定位的5周以上的周跳，其精度损失不会大于1.2m

2 电离层残差法

1986年美国学者Goad提出用双频载波相位测量的电离层残差，探测和修复周跳，称之为电离层残差法，它主要考察不同时元间电离层残差的变化。若不考虑量测噪声和多路径效应，同一时元的双频载波相位测量之差则为：

将式（6）两端同除以λ1，则有

Δion（t）表示用L1波长的双频载波相位测量电离层延迟的差值，称之为电离层残差。若不存在周跳，时元之间的Φgf（t）/λ1之差为 ：

式中，ΔΦgf为时元间电离层残差的变化值。当电离层比较稳定、采样间隔较短（几秒钟），电离层延迟的变化为亚厘米级。图4～7均为1996年3月在海南省所作的机载GPS动态载波相位测量成果，其数据采样率是一秒钟，且没有发生载波相位测量的整周跳变；图4和图5分别地面基准接收机和机载GPS信号接收机观测PRN29号卫星的电离层残差数据（用L1波长表示，单位为周），图中虚线为卫星的天顶距。图5和图7分别是地面基准接收机和机载GPS信号接收机观测PRN29号卫星的时元间电离层残差的变化。由图5可知，对于静态观测的GPS信号接收机时元间电离层残差变化较小，其值均小于0.005周。而图7表明，对于机载GPS信号接收机，由于多路径效应和量测误差的影响，电离层残差的变化较大，但其值都小于0.05周。因而在电离层较稳定时，短时间内载波相位测量电离层残差的变化很小。若相邻两时元间电离层残差发生突变，则说明L1或L2的载波相位观测值可能存在周跳。若设L1，L2的周跳分别为ΔN1，ΔN2，则有

图4 地面基准站1秒数据更新率GPS卫星PRN29的电离层双频观测值的残差

图5 地面基准站1秒数据更新率GPS卫星PRN29的电离层双频观测值时元之间电离层双频观测值残差的变化，其变化值均小于0.005周

图6 机载GPS信号接收机1秒数据更新率GPS卫星PRN29的电离层双频观测值的残差

图7 机载GPS信号接收机1秒数据更新率GPS卫星PRN29的电离层双频观测值时元之间电离层双频观测值残差的变化，其变化值均小于0.05周

此时，ΔΦgf是L1，L2周跳的线性组合；显然，如果L1，L2的周跳使 [（77/60）ΔN2-ΔN1]等于零或接近于零，从而使时元间电离层残差观测值的变化ΔΦgf很小，则用该法无法探测出周跳；即，当60ΔN1=77ΔN2时，有（77/60）ΔN2-ΔN1=0；此 外， 当 ΔN1=±4，ΔN2=±3；ΔN1=±5，ΔN2=±4；ΔN1=±9，ΔN2=±7 ；ΔN1=±14，ΔN2=±11，… 时，（77/60）ΔN2-ΔN1均小于 ±0.15周；特别是当ΔN1=±9，ΔN2=±7时，|（77/60）ΔN2-ΔN1|仅为0.0167周，几乎和测量噪声相当（见表1）。根据上述机载GPS测量成果，选取|ΔΦgf|＞0.05周为探测周跳的标准，对于大部分周跳均可探测出来；但对一些特殊的周跳组合，如ΔN1=77，ΔN2=60；ΔN1=9，ΔN2=7等，则难以探测出周跳。尽管如此，电离层残差法仍然是一种极好的双频周跳探测方法；若能联合应用其他周跳探测方法（如多项或拟合法），将周跳修复至7周以内，电离层残差法，则可正确探测出所有周跳。

表1 双频周跳探测的电离层残差法

3 伪距/载相组合法

从GPS卫星测量误差特性可知，除电离层延迟、多路径效应、量测误差之外，其它误差源对伪距和载波相位测量的影响是相同的，故可用伪距和载波相位观测值的组合来探测和修复周跳。

单频伪距和载波相位测量的观测方程可表述如下：

式中，R为伪距观测值；φ为载波相位观测值；λ为载波波长；N为载波相位整周模糊度；dIR，dIφ分别是伪距和载波相位测量的电离层效应偏差；dmR，dmφ分别为伪距和载波相位测量的多路径效应偏差；εR，εφ分别为伪距和载波相位的量测噪声。将式（10）和式（11）相减可以得到：

将式（12）在时元间相减，由于时元间电离层延迟和多路径效应变化较小时，可以得到周跳的估值：

式（13）可用于单频、双频非差数据。其估计精度取决于电离层延迟和多路径效应在时元之间的变化，以及伪距和载波相位测量的量测噪声、载波波长λ的大小。在相同的观测条件下，波长越长，则对周跳的估计越精确。基于上述思想中国韩绍伟博士于1995 年提出利用双频组合测值φ1，-1，φ-7，9来探测和修复周跳的方法（此处，φ1，-1表示其测距有效波长为86.2cm，φ-7，9表示其测距有效波长为1465.3cm）。每时元双频组合观测值的整周模糊度可用下式来估计：

上式中的R可选择为L1或L2的伪距R1或R2，也可选择R1，R2的平均值，根据不同接收机类型以及可用的伪距观测值，应选择量测噪声较小的伪距观测值作为R代入式中计算。若精确已知式（14）中的电离层延迟，则波长越长，N确定精度越高。

每一时元的Ni，j均可用（14）来估计，当时元间电离层延迟等变化较小时，时元间周跳可用式（15）估计。

根据 N1，-1，N-7，9的定义有以下关系 ：如果 N1，-1为奇数→N-7，9为奇数；如果 N1，-1为偶数→ N-7，9为偶数。这一奇偶关系表明：当其中一个整周模糊度确定后，则另一个的有效波长变为原波长的两倍因而更容易求解，对于周跳也存在同样的关系：

当 ΔN1，-1为奇数→ ΔN-7，9为奇数

当 ΔN1，-1为偶数→ ΔN-7，9为偶数

显然如果求得ΔN1，-1则ΔN-7，9的确定变得更容易，反之亦然。若确定 φ1，-1，φ-7，9的周跳后，则 φ1，φ2周跳可用下式确定 ：

图8 机载GPS测量的窄巷探测周跳

图9 机载GPS测量的宽巷探测周跳

图10 GPS静态测量的窄巷探测周跳

图11 GPS静态测量的宽巷探测周跳

图8～ 图11分别为一次机载 GPS 动态定位中 φ-7，9，φ1，-1周跳探测的结果（GPS信号接收机为Trimble 4000SSE，数据采样率为1秒，卫星号PRN25，R=（R1+R2）/2，无周跳），从图8和图10可见，无论是对静态GPS信号接收机，还是对机载GPS信号接收机，ΔN-7，9的噪声不到0.25周，因此，除ΔN1=9n，外，所有的周跳都可用φ-7，9来探测到，从图9和图11可知；对于静态GPS信号接收机，ΔN1，-1不难确定到2周左右的水平。若设真实跳周数分别ΔN1，ΔN2，且ΔN-7，9，ΔN1，-1的估值分别为，则有

故知，

从式（18）和式（19）可以得到3组ΔN1和ΔN2的估值，即，（ΔN1，ΔN2），（ΔN1+9，ΔN2+7），（ΔN1-9，ΔN2-7）。 对 于 ΔN1和ΔN2分别为9和7的整倍数，且ΔN1，-1估计值精确度为2周时周跳无法探测。

如果进一步提高伪距测量精度，使ΔN1，-1能确定到一周以内的水平，则根据前述奇偶关系，可以惟一确定φ1，φ2的周跳。

4 结束语

综上所述，上列三种方法都可用于单站非差观测值（图1～11中均采用非差观测值）的周跳探测和修复，且可用于在预处理阶段的周跳探测和修复。多项式拟合法主要用于探测L1和L2的周跳，并可将L1的周跳修复到5周的水平；当动态较稳定时，可修复到2周的水平；对于GPS静态测量数据，则可完全修复周跳。电离层残差法，是探测GPS双频测量数据周跳的强有力武器；但存在对一些周跳组合不敏感的问题。伪距/载相组合法，虽也可用于GPS单频测量数据的周跳探测，但精度较低；采用φ1，-1，φ-7，9组合的方法，虽难以惟一确定φ1，φ2的周跳，但很容易将周跳值限制在有限的几个组合内。由于这三种方法分别采用不同的观测量来探测和修复周跳，实际应用中，集三种方法之长，综合使用上述三种方法探测和修复周跳。对于GPS双频测量数据不难在预处理阶段探测和修复绝大部分的周跳；对于GPS单频测量数据，特别是GPS动态测量数据，仅利用站星观测值，难以完全探测出一些小周跳，完全修复则更不可能；因而还需辅以其它信息来探测和修复周跳。

值得一提的是，GNSS卫星信号的现代改进和GNSS信号接收机的现代发展，GNSS载波相位观测值的周跳，不仅发生周跳的情况比较少，而且能够注记发生周跳的时元，便于探测和和修复；但是，需要仔细地处理GNSS观测成果的归一化！■

[1] 刘基余.GPS卫星导航定位原理与方法（第二版）.北京：北京科学出版社，2008.6.

[2] Lachapelle，G.，GPS Theory and Applications，University of Calgary，Fall 2000，PP.310.

[3] 刘基余，陈小明，李德仁等.GPS Kinematic Carrier Phase Measurements for Aerial Photogrammetry.ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing，Vol.51，No.5，1996，P.230～242.