把握知识脉络 合理设计教学

居海霞

摘 要：数学是整体的，其主要表现为数学知识的系统性和结构化。任何数学内容都来自于某一系统，从属于某一结构。所以，教学中，我们应该从知识体系处出发来把握教材，实施教学。

关键词：知识体系；主要脉络；原始模型

如果我们把一节课看作一棵树，那么，一个单元就是一片小树林，一册教材就是一整片树林，放眼望去，甚至知识的相关体系可以是更广阔的树林。站在一棵树下，我们只能看到这棵树的样子；而越往高处站，就越能清楚地看到这棵树在整片树林里的位置，甚至能清楚地找到每一节课中的知识点在整个知识体系中所处的位置。由此，我们就会有一系列的思考：如何去解读文本？如何去把握教材？如何去实施教学？……

特级教师许卫兵校长在《以思维为核心的数学素养导向》一文中提出：“数学是整体的，其主要表现为数学知识的系统性和结构化。任何数学内容都来自于某一系统，从属于某一结构。”所以，在教学中，我们应该从知识体系处出发来把握教材，实施教学。

比如，在整个小学阶段，“认识分数”这一知识点在苏教版教材中是分三次编写的，分别在三年级上学期、三年级下学期和五年级下学期。接下来，就以“分数认识”这一知识的教学为例，谈谈如何从知识体系处来把握教材。

在三年级上学期，学生应认识到，把一个物体、一个图形平均分成若干份，取其中的一份，就是几分之一，取其中的几份，就是几分之几。

在三年级下学期，学生应认识到，“分数”是指把一个整体平均分成若干份，表示其中一份或几份的数。

到五年级下学期，学生就应认识到，把“一个物体（比如一块月饼）、一个计量单位（比如一个长方形、一个直条）或由许多物体组成的一个整体（比如6个圆）”看作“单位1”，研究分数时，就是找“单位1”，把“单位1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。

可以发现，不管是一开始的“一个物体、一个图形”，还是接下来的“一个整体”，抑或是后面的“单位1”，它们始终围绕着“平均分”，平均分的份数作为分母，取的份数作为分子，分数表示的都是“部分与整体”的关系。所以，这应是这块知识体系的“主脉”。

认识到这一点后再来思考这三次的“认识分数”，就可以理清相对应的教学侧重点。

一、紧扣“部分与整体”，初步建立“几分之一”的概念

在認识“一个物体、一个图形的几分之一”时，教师应该让学生体会到，分数与物体、图形的形状、大小等都是没有关系的，它只与平均分的份数、取的份数有关。

所以，可以设计这样的教学环节：把一个长方形平均分成2份，其中的一份就是。如果把这个长方形放大或缩小，涂色部分还是整个长方形的（如图1）。

在长方形整体的放大与缩小的演示中，学生感受到，虽然涂色部分变大或缩小了，但它与整个长方形的关系是不变的，始终是两份里面的一份，即。

在这个基础上，还可以继续用不同的图形来表征。如图2所示，一个圆的，一个三角形的，一个五边形的，虽然被平均分的图形的形状不同，但都是两等份中的一份，表示的都是部分图形与整个图形之间的关系。依托具体的“形”，初步建立“几分之一”的概念。

二、紧扣“部分与整体”，深入理解一个整体的“几分之一”

当学生开始认识“一个整体”的几分之一时，由于从“一个物体、一个图形”向“许多物体组成的一个整体”过渡，学生往往会更多地关注物体的个数。比如：这里，把8个小正方体平均分成4份，其中的一份应是，但学生常会错认为是。（图3）

所以，这里还应紧扣“部分与整体的关系”，即关注的应是平均分的份数和取的份数之间的关系。

基于这样的思考，我们就可以进行如下设计：3个桃、6个桃、9个桃、12个桃，甚至更多的桃，都可以分别看成一个整体，平均分成3份，其中的一份均是这个整体的三分之一。（图4）

所以，所取的一份中，不管是1个桃、2个桃、3个桃，还是更多的桃，都是无关紧要的，只要把这个整体平均分成3份，其中的一份就是整体的三分之一。

三、紧扣“部分与整体”，逐步抽象分数的“无量刚性”

在第三次认识分数时，学生就要明白：“单位1”不再代表某个具体的整体。比如：的苹果和的梨是没有办法比较大小的，我们只需要直接看和本身的意义。所以，在这个阶段，学生对分数的理解就要从原来具体的物体、图形中抽象出来，向数本身的意义过渡，也就是从数的“有量刚性”向“无量刚性”过渡。

所以，这时的教学，要创设相应的环节，帮助学生从具体的物体、形状中走出来，摆脱其“有量刚性”。

可以设计这样的教学片段（如图5）。

，除了指一个饼的、四个饼的、五个饼的，还可以指1米的、1吨的、一本书的等。学生就会产生这样的需求：有没有一种说法，可以将天下所有的四分之三都包含进去？这时，“单位1”应运而生。由此就可以实现将具体的个例过渡到一般意义的外延。

纵观这三个阶段对分数的认识，都是紧扣“部分与整体”来研究的。把握住这一知识点的主动脉，就把握住了教学的重难点，就可以针对学生的基础设计出相应的教学环节。

同时，不难发现，学生一开始对分数的认识，是建立在“具体的形”的基础之上的，可一旦认识了相应的分数之后，又要帮助学生摆脱具体的“形”，抽象出“数”本身的意义。“形”，是一种认数的手段、方式，但不是认数的最终目的，最终目的是：摆脱具体的形，建立数本身的意义。在建立了数的概念之后，又应将抽象的概念再具体到更丰厚的数的应用中。这样，从具体到抽象，再从抽象到更丰富的具体。不仅是认识分数，同样整数的认识、小数的认识、数数等，这一系列的教学，都应如此。

知识的体系，不仅体现于教材编写中的“体系”，还有平日教学中隐藏着的一些零散的“体系”。

再如，乘法的数量关系式：一份数×份数=总数，这个式子所代表的数量关系可以是“行程问题”中的“速度×时间=路程”，也可以是“购物问题”中的“单价×数量=总价”，还可以是“工程问题”中的“工作效率×工作时间=工作总量”等。这些数量关系都是“一份数×份数=总数”这一乘法意义的具体化。

所以，在教学中，教师应努力帮助学生建立其“原始模型”。

首先，我们可以设计学生熟悉的购物情境，在解决购物问题中回顾“数量、单价、总价”之间的关系，接着可以创设行程问题的情境，引导学生在解决问题的过程中体会“速度、时间和路程”这三者之间的数量关系，最后再出示“工作效率、工作时间、工作总量”的问题进行对比练习。

在比较了丰富的不同类型的数量关系的模型基础上，我们可以设计这样的环节：

1支铅笔的单价或1小时行驶的路程可以用这样的一条线段来表示（图6）。

3支铅笔的总价或3小时行驶的路程就用这样的三条线段来表示（图7）。

在此基础上引导学生再思考：线段图中的每一份还可以表示什么？总量相应地就可以表示什么？学生会发现，这样的一份除了可以表示1支铅笔的单价、1小时行驶的路程以外，还可以表示1只苹果的重量、一只箱子的高度等。

这样，经过抽象，舍去对象的一些非本质属性后，可以形成一种纯数学的结构关系：“一份数×份数=总数”，由此建立“乘法模型”。

所以，在平日的教学中，我们要做一个有心人，善于将同一类型的知识进行归类、整理、梳理，再通过合理的途径将其明朗化。比如平面图形的面积、运算律的应用等，每一个板块，都有其“脉络”和主线，如果能把握住“主要脉络”，任其千变万化，都可以“以不变应万变”。