TF-投射模与TF-投射维数

何 可, 王芳贵, 沈 磊

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

无挠Abel群的理论可以很自然地推广到整环.整环上的无挠模对刻画整环的结构发挥了很大的作用(例如,整环R是Prüfer整环,当且仅当任何无挠R-模都是平坦模,当且仅当任何有限生成无挠R-模都是投射模).将无挠模的概念推广到交换环R上,可以用R的全体非零因子的乘法集来代替整环上的非零元定义无挠模,参见文献[1]等.对非交换环R上无挠模最自然的定义是用全体正则元(既不是左零因子又不是右零因子的元素)代替整环的非零元，即设M是左R-模,如果对任何非零x∈M,及任何正则元c∈R,都有cx≠0,则称M为无挠模.但是这样定义的无挠模在应用上受到很大的限制,例如文献[2]中问题3.D.16就指出M中被某个正则元零化的元素一般不构成M的子模.

平坦模在同调代数中是一个基本的模类,且整环(或有零因子的交换环)上平坦模都是无挠模.文献[3]从同调性质的角度给出了一般的非交换环R上无挠模的定义:设M是左R-模,若对任意a∈R,及任何x∈M,只要ax=0,就有x∈rR(a)M,则称M是无挠模,其中rR(a)={r∈R|ar=0}是a的右零化子.文献[3]证明了M是无挠左R-模当且仅当对任意a∈R,都有

特别地,对于整环R,文献[3]定义的无挠模与经典的无挠模概念是一致的.文献[4]利用矩阵讨论了无挠模与平坦模的关系,并证明了:无挠左R-模M是平坦模,当且仅当对任何正整数n,都有Mn是无挠左Mn(R)-模,其中Mn={(x1,x2,…,xn)T|x1,x2,…,xn∈M}(上标T表示转置),Mn(R)是R上的n-阶矩阵环.由此可见文献[3]定义的无挠模是值得研究的模类.本文以下提到的无挠模都采用这种定义.

众所周知,任何环上任何模都有内射包,但是投射盖,作为其对偶的概念,只有在左完全环上任何左模才都有投射盖.于是文献[5]提出了平坦盖猜想,并证明了任何环上任何模都有平坦盖.近年来,对各种特定模类的包络与覆盖的研究成为相对同调代数的一个热点,文献[6]中定理4.1.1(b)指出任何模都有无挠盖.在讨论模的无挠预包时,发现了一个新的模类,即本文引入的TF-投射模,在讨论与之相应的同调维数时又引入了强TF-投射模的概念.

本文提到的环都是有单位元1的结合环.右(或左)R-模的特征模HomZ(M,Q/Z)记为M+,且(M+)+简记为M++.符号rR(a)(lR(a))表示环中元素a的右(左)零化子.未提到的概念和符号,读者可以参见文献[1,6-10]等.

1 预备知识

定义1.1设R是环,M是左R-模:

定义1.21) 若R的任何主左理想都是投射(平坦)的,则称R为左PP环(PF环)[3];

2) 若R的任何主左理想都是有限表现的(等价地,对任何a∈R都有lR(a)都是有限生成左理想),则称环R为左P-凝聚环[7];

3) 若R的任何主左理想都是循环表现的(等价地,对任何a∈R都有lR(a)都是主左理想),则称环R为左强P-凝聚环[7];

4) 若R的有限生成左理想都是主左理想,则称R为左Bézout环[12].

例1.31) 无零因子环和半遗传环都是双边PP环,左PP环都是左PF环[3];

2) 左PP环和左凝聚环都是左P-凝聚环,此外,环R是左凝聚环当且仅当对任何n≥1,n阶矩阵环Mn(R)都是左P-凝聚环[7];

3) 左PP环、Von Neumann正则环、左(广义)morphic环都是强P-凝聚环,强P-凝聚环是P-凝聚环[7](称R为左广义morphic环[13],是指对任何a∈R,存在b∈R,使得lR(a)≅R/Rb,此外,若b=a,则称R为左morphic环[14]);

4) 若R既是左P-凝聚环,又是左PF环,则R是左PP环.

关于包络覆盖和余挠理论,可以参见文献[6,9,15]等,限于篇幅,不再赘述.左(或右)强P-凝聚环R上右(或左)模M的无挠维数记为leftTF-dimM,关于此维数的研究可以参见文献[7,16].

2 TF-投射模的定义与基本性质

注2.2由定义立即可得以下结论:

1) 投射模是强TF-投射模,强TF-投射模是TF-投射模;

2) (强)TF-投射模是(强)余纯投射模.

首先给出TF-投射的一些等价刻画.

命题2.3设R是环,M是右R-模,则下列各条等价:

1)M是TF-投射模;

2) 若0→K→F→M→0是正合列,其中F是无挠模,则K→F是TF-预包;

3) 存在TF-预包φ:A→B,其中B是投射模,使得M≅coker(φ);

4) 对任何正合列ξ:0→A→B→C→0,只要A是无挠模,就有诱导序列HomR(M,ξ)是正合列.

证明1)⟹2)和1)⟹4) 显然.

2)⟹3) 取正合列0→K→P→M→0,其中P是投射模,于是K→P是TF-预包.

3)⟹1) 设A→B→M→0是正合列,其中B是投射模,φ:A→B是TF-预包.令K=im(φ),则

0→K→B→M→0

是正合列.对任何无挠模左R-模N,则有

4)⟹1) 设N是无挠模左R-模,E=E(N)是N的内射包,则有正合列

ξ:0→N→E→E/N→0,

及长正合列

接下来讨论TF-投射模的基本性质.

命题2.4设R是环,则有:

1) (强)TF-投射模对直和与直和加项封闭;

2) (强)TF-投射模对模扩张封闭;

3) 强TF-投射模对满同态的核封闭;

4) 强TF-投射模类是可解的.

证明1) 设{Mγ}γ∈Γ是一簇左R-模,其中Γ是指标集.对任何整数i≥1,及任何无挠左R-模N,由自然同构

立即可得.

2) 设0→A→B→C→0是左R-模正合列,则对任何i≥0,及任何无挠左R-模N,由诱导序列

是正合的立即可得.

3) 设0→A→B→C→0是左R-模正合列,则对任何i≥1,及任何无挠左R-模N,有正合列

若B、C都是强TF-投射模,则正合列ξi两端为零,从而中间也为零,于是A也是强TF-投射模.

4) 由2)和3)与注2.2即得.

命题2.5设R是环,M是TF-投射模左R-模,则下列各条等价:

1)M是强TF-投射模;

2)M的第一阶合冲模是强TF-投射模;

3)M的任意阶合冲模都是强TF-投射模.

证明3)⟹2) 显然.

2)⟹1) 设K是M的一个第一阶合冲模,则对任何无挠模N,及任何i≥2,都有

1)⟹2) 设0→K→P→M→0是正合列,其中P是投射模,从而是强TF-投射模,由命题2.4得K是强TF-投射模.

1)⟹3) 对1)⟹2)的证明过程用归纳法即得.

证明设leftTF-dimN=n<∞,由文献[7]中命题4.14知,存在正合列

0→F→Pn-1→…→P0→N→0,

其中,P0,…,Pn-1是投射模,F是无挠模,因此

命题2.7设R是右强P-凝聚环,M是左R-模,则下列各条等价:

1)M是投射模;

2)M是强TF-投射模,且leftTF-dimM<∞.

证明1)⟹2) 显然.

2)⟹1) 设0→K→F→M→0是正合列,其中F是自由模,由文献[7]中命题4.14得

leftTF-dimK<∞.

命题2.8设R是右PF环,M是左R-模,则下列各条等价:

1)M是投射模;

2)M是TF-投射模.

证明1)⟹2) 显然.

众所周知,投射模都是平坦模;反之,有限表现的平坦模是投射模.(强)TF-投射模与(强)D-平坦模也有类似的关系.

定理2.9设R是环,M是左R-模,则有以下各条成立:

1) 若R是右P-凝聚环,M是(强)TF-投射模,则M是(强)D-平坦模;

2) 若M是有限表现的D-平坦模,则M是TF-投射模;

3) 若R是右凝聚环,M是有限表现强D-平坦模,则M是强TF-投射模.

证明1) 设D是可除右R-模,注意到R是右P-凝聚环,由文献[7]中定理2.7得D+是无挠模.从而对任何i≥1,由自然同构

结论成立.

由f:K→F是TF-预包知存在φ:F→N,使得

hf1=φf=φλf1.

注意到f1是满同态,从而h=φλ,即λ:A→F是TF-预包.由命题2.3得M是TF-投射模.

3) 对任何右R-模N,及任何i≥1,由文献[17]中定理2.2.13得

注意到凝聚环是P-凝聚环,再由文献[7]知,N是无挠模当且仅当N+是可除模,故结论成立.

下面给出一个TF-投射模但不是投射模的例子.

例2.10设R是双边强P-凝聚环,但不是双边PP环.由文献[7]中推论5.4,存在有限表现左R-模M是D-平坦模但不是平坦模,从而M也不是投射模.由命题2.9得,M是TF-投射模.

引理2.11设R是右Bézout环,M是左R-模,则M是无挠模当且仅当M是平坦模.

证明设I是有限生成右理想.由假设,存在a∈R,使得I=aR,于是

故M是平坦模.

推论2.12设R是右Bézout环,M是左R-模,则M是(强)余纯投射模当且仅当M是(强)TF-投射模.

命题2.13设R是环,考虑以下条件:

1) 任何无挠左R-模都是投射模;

2) 任何无挠左R-模都是强TF-投射模;

3) 任何无挠左R-模都是TF-投射模;

4) 任何D-平坦左R-模都是TF-投射模;

5) 任何强D-平坦左R-模都是强TF-投射模.

则有4)⟹5)⟹3)⟺2)⟺1)成立.此外,若R既是右P-凝聚环又是右Bézout环,则1)⟹4)成立.

证明1)⟹2)⟹3)和5)⟹2) 显然.

因此Ki是强D-平坦模,从而是TF-投射模.于是对任何i≥0,都有

即M是强TF-投射模.

1)⟹4) 设M是D-平坦左R-模,N是无挠右R-模,则N+是可除左R-模,于是

由引理2.11,N是平坦模.由假设可得R是左凝聚环,从而N是纯内射模,再由文献[18]中命题1.1,N→N++是纯单同态.因此存在右R-模X,使得

N⊕X≅N++.

从而有

命题2.14设R是环，若任何左R-模都是TF-投射模,则R是QF环.此外,如果R是右Bézout环,反之也成立.

命题2.15设R是环,则(STP,STP⊥)是遗传的余挠理论.

证明设X∈STP,N∈STP⊥,0→K→P→X→0和0→N→E→L→0是正合列,其中P是投射模,E是内射模,则由命题2.5,K∈STP,从而

于是L∈STP⊥.

今设M∈⊥(STP⊥),则

用归纳法立即可得:对任意i≥0,都有

设F是无挠模,显然F∈STP⊥,从而对任意i≥0,都有

故M∈STP,即(STP,STP⊥)是余挠理论.注意STP是可解的,由文献[6]中引理2.2.10,(STP,STP⊥)还是遗传的余挠理论.

3 TF-投射维数

令1.tpD(R)=sup{tpd(M)|M为左R-模},并称之为R的左整体TF-投射维数.

注3.2设R是环,M是左R-模,则有:

1)M是强TF-投射模当且仅当tpd(M)=0;

2) 若1.tpD(R)=0,则R是QF环.若R既是QF环,又是右Bézout环,则1.tpD(R)=0.

cpd(M)=∞.

关于余纯投射模和余纯投射维数的更多结果可以参见文献[19-22].

余纯投射维数与TF-投射维数有命题3.3关系:

命题3.3设M是左R-模下列各条成立:

1) cpd(M)≤tpd(M)≤pd(M);

2) r.cpD(R)≤1.rtpD(R)≤rD(R);

3) 若tpd(M)<∞,则tpd(M)=cpd(M).

证明1) 由注2.2即得.

2) 由1)即得.

由同调代数的标准方法可以证明以下2个命题,在此从略.

命题3.4设M是左R-模,n为非负整数,则下列各条等价:

1) tpd(M)≤n;

3) 对任何左R-模N∈STP⊥,都有

4)M的第n阶合冲是强TF-投射模;

5) 存在正合列0→Pn→…→P0→M→0,其中P0,…,Pn都是强TF-投射模.

命题3.5设R是环,0→A→B→C→0是右R-模正合列.若tpd(A)、tpd(B)、tpd(C)中任何2个是有限的,则第3个也是有限的.此外还有:

1) tpd(A)≤sup{tpd(B),tpd(C)-1};

2) tpd(B)≤sup{tpd(A),tpd(C)};

3) tpd(C)≤sup{tpd(B),tpd(A)+1}.

定理3.6设R是环,下列各项的值相等:

1) 1.tpD(R);

2) sup{tpd(M)|M是有限生成左R-模};

3) sup{tpd(M)|M是无挠左R-模};

4) sup{id(N)|M是无挠左R-模};

5) sup{id(N)|N∈STP⊥}.

证明3)≤2)≤1)和4)⟹5) 显然.

推论3.7设R是环,下列各条成立:

1) 若0→A→B→C→0是右R-模正合列,且B是强TF-投射模,若0

tpd(C)=tpd(A)+1;

2) 设n≥2,则1.tpD(R)=n当且仅当

sup{cpd(I)|I是R的右理想}=n-1.

证明1) 显然.

2) 由正合列0→I→R→R/I→0和定理3.6即得.

命题3.8设R是右强P-凝聚环,M是TF-投射左R-模.若M是无挠模的子模,则存在无挠预包φ:M→P,其中P是投射模且φ是单同态.

命题3.9设R是右强P-凝聚环,M是左R-模.若tpd(M)≤1,则M有强TF-投射预盖ψ:H→M,且ker(φ)是投射模.

证明由文献[7]中命题4.14,存在正合列0→K→Q→M→0,其中Q是投射模,M是强TF-投射模.由命题3.8,存在平坦预包φ:K→P,其中P是投射模,且φ是单同态.令L=coker(φ),则由命题2.3,L是TF-投射模,再由命题2.5,L是强TF-投射模.考查如下两行正合的交换图:

最后给出本文的主要定理.

定理3.10设R是右强P-凝聚左Noether环,则下列各条等价:

1) 1.tpD(R)≤1;

2) 任何左R-模M有强TF-投射预盖ψ:H→M,且ker(ψ)是投射模;

3) 任何TF-投射左R-模是强TF-投射模;

4) 对任何内射左R-模M的无挠子模N,都有商模M/N是内射模;

5) 任何强TF-投射左R-模的子模是强TF-投射模;

6) 任何左理想是强TF-投射模.

证明1)⟹2) 由命题3.9即得.

2)⟹1) 由命题3.4即得.

1)⟹3) 设M是TF-投射模,K是M第一阶合冲.由命题3.4,K是强TF-投射模,再由命题2.5,M是强TF-投射模.

3)⟹1) 设M是有限生成左R-模.考查正合列0→K→P→M→0,其中P是有限生成投射模,注意到R是左Noether环,故K是有限生成的.设f:K→N是无挠预包,其中F是有限生成投射模,记L=coker(f).由K是P的子模,知f是单同态.再由命题2.3,知L是TF-投射模,从而是强TF-投射模.由命题2.5,K也是强TF-投射模.故tpd(M)≤1.由命题3.6,知1.tpD(R)≤1.

1)⟹4) 设N是内射左R-模的M无挠子模,则N∈STP⊥.由命题3.6,id(N)≤1,从而M/N是内射模.

4)⟹1) 设N是无挠模,E(N)是T的内射包,由假设E(N)/T是内射模,从而id(N)≤1.由命题3.6,知1.tpD(R)≤1.

5)⟹6) 显然.

6)⟹1) 设I是R的左理想,由正合列

0→I→R→R/I

知cpd(R/I)≤1,由命题3.6,1.tpD(R)≤1.

[1] 王芳贵. 交换环与星型算子理论[M]. 北京:科学出版社,2006.

[2] GOODEARL K R. Ring Theory:Nonsingular Rings and Modules[M]. New York:Marcel Dekker,1976.

[3] HATTORI A. A foundation of torsion theory for modules over general rings[J]. Nagoya Math J,1960,17(17):147-158.

[4] STONE D R. Torsion-free and divisible modules over matrix rings[J]. Pacific J Math,1970,35(1):235-253.

[5] BICAN L, EL BASHIR R, ENOCHS E E. All modules have flat covers[J]. B London Math Soc,2001,33(4):385-390.

[6] GÖBEL R, TRLIFA J J. Approximations and Endomorphism Algebras of Modules[M]. Berlin:Walter de Gruyter,2006.

[7] MAO L X, DING N Q. On divisible and torsionfree modules[J]. Commun Algebra,2008,36(2):708-731.

[8] ROTMAN J J. An Introduction to Homological Algebra [M]. New York:Academic Press,1979.

[9] ENOCHS E E, JENDA O M G. Relative Homological Algebra[M]. Berlin:De Gruyter,2000.

[10] ANDERSON D D, FULLER K R. Rings and Categories of Modules[M]. Berlin:Spring-Verlag,1974.

[11] FU X H, ZHU H Y, DING N Q. On copure projective modules and copure projective dimensions[J]. Commun Algebra,2012,40(1):343-359.

[12] MAZUREK R, ZIEMBOWSKI M. On Bézout and distributive generalized power series rings[J]. J Algebra,2006,306(2):397-411.

[13] ZHU H Y, DING N Q. Generalized morphic rings and their applications[J]. Commun Algebra,2007,35(9):2820-2837.

[14] NICHOLSON W K, CAMPOS E S. Rings with the dual of the isomorphism theorem[J]. J Algebra,2004,271(1):391-406.

[15] XU J Z. Flat Covers of Modules[M]. Berlin:Springer-Verlag,1996.

[16] HU J S, DING N Q. Some results on torsionfree modules[J]. J Algebra and Its Appl,2013,12(1):221-241.

[17] 陈建龙,张小向. 凝聚环与FP-内射环[M]. 北京:科学出版社,2014.

[18] JENSEN C U, SIMSON D. Purity and generalized chain conditions[J]. J Pure & Applied Algebra,1979,14(3):297-305.

[19] 施莉娜,王芳贵,熊涛. ∞-余纯投射模[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2016,39(4):479-483.

[20] 熊涛,王芳贵,胡葵. 余纯投射模与CPH环[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2013,36(2):198-201.

[21] 熊涛. 余纯投射模与模的单平坦包[D]. 成都:四川师范大学,2012.

[22] 熊涛. 由模类Fn决定的同调理论[D]. 成都:四川师范大学,2015.

[23] ENOCHS E E, HUANG Z Y. Injective envelopes and (Gorenstein) flat covers[J]. Algebras and Representation Theory,2012,15(6):1131-1145.

[24] LEE S B. Weak-injective modules[J]. Commun Algebra,2006,34(1):361-370.

[25] FUCHS L, SALCE L. Modules over non-noetherian domains[J]. American Mathematical Society,2001,84(4):613.