不同中心距下汽车EPS蜗轮蜗杆接触强度的研究

刘元洋，陈志刚，王先声

(邵阳学院 机械与能源工程学院，湖南 邵阳，422000)

蜗轮蜗杆机构是EPS减速机构的关键部件，因蜗轮蜗杆在制造、加工、安装等过程中存在误差以及在使用过程产生的磨损，会使蜗轮蜗杆的侧隙值偏离理想值，导致齿侧间隙过大而产生异响，带给顾客不舒适的体验。因此确定蜗轮蜗杆齿侧间隙的范围，对降低汽车EPS噪声及提升用户的开车体验具有十分重要的意义。

杨朋朋等[1]认为理论侧隙与有限元模型计算的侧隙结果的差异主要是由周向位移引起的；KAHRAMAN等[2]首次引入了时变啮合刚度和齿侧间隙对齿轮的影响；Parker[3]在Kahraman模型的基础上，结合有限元分析方法，研究时变啮合刚度与齿侧间隙对齿轮系统动力学特性的影响；孙涛等[4]研究了齿轮副啮合间隙对行星齿轮传动系统非线性动态响应的影响；Wang J H[5]采用GEAR方法求解，得到了间隙对齿轮机构动态特性的影响，取得了一定的成效，白恩军[6]等考虑齿轮轴变形的斜齿轮接触分析有限元方法能反映出齿轮啮合刚度的时变特性，并能清楚显示啮合刚度较小值的啮合位置；罗冠炜[7]认为中心距误差将改变轮齿接触点的位置，对齿面接触应力和轮齿弯曲应力影响最大；杜坤[8]认为随着齿侧间隙的增大，将引起轮齿冲击过程的延迟，也使齿轮的啮合冲击力的周期变大，但缺乏对由于安装误差而对齿侧间隙以及接触强度的影响的研究。

以某型号汽车EPS的蜗轮蜗杆为研究对象，基于Hertz接触理论以及弹性理论，建立蜗轮蜗杆的接触强度公式。通过改变蜗轮蜗杆中心距，研究中心距与蜗轮蜗杆齿侧间隙的关系，并对蜗轮退出碰撞的瞬间时蜗轮接触强度进行有限元分析，与解析法的结果进行对比，验证解析式的可靠性。

1 蜗轮蜗杆接触强度的数学模型

汽车EPS系统蜗轮蜗杆为渐开线圆柱齿轮，蜗轮的材料为Pa46，蜗杆的材料为钢。由于几何结构、工况、齿面摩擦和材料等都会对蜗轮蜗杆的接触强度产生影响，为了便于分析，假设蜗轮轮齿的变形量为零且蜗轮蜗杆在运行过程中接触压力均匀分布。

为了得到蜗轮的接触强度解析公式，需要先确定蜗轮蜗杆端面重合度εa、接触线最小接触长度Lmin以及综合曲率半径ρn。

1.1 接触线的最小接触强度长度

由于数学模型只针对一对齿的啮合，因此端面重合度εa取1。

蜗轮轮齿是沿齿宽弧形包络在蜗杆上，结合数学几何得到蜗轮的最小接触线长度为

(1)

式中：Lmin为蜗轮最小接触线长度，mm；d1为蜗杆分度圆直径，mm；θ蜗轮齿宽角，2θ=150°。

1.2 综合曲率半径ρn

由于渐开线圆柱蜗轮蜗杆的啮合传动过程与齿轮齿条的啮合传动过程相似，为了简化计算，假设ρ1=以及sinan≈sinacosγ，通过几何学得到如下公式：

(2)

式中：ρn为综合曲率半径；d2为蜗轮分度圆直径，mm；a为蜗轮蜗杆分度圆的导程角，°；γ为法向齿形角，°。

1.3 蜗轮蜗杆接触强度

以Hertz提出的赫兹公式[9]为前提，并结合蜗轮蜗杆接触线啮合的条件得到：

(3)

式中：σH0为齿面接触强度，MPa；ZE为材料弹性系数，塑料-钢齿轮副一般为50.3MPa1/2；η为传动效率，取值为0.7；T2为蜗轮扭矩，N·m；d2为蜗轮分度圆直径，mm；L为接触线长度，mm；Fn为法向力，N，Fn满足如下公式：

Fn=(2000ηT2)/(d2cosacosγ)

(4)

1.4 蜗轮接触线处接触强度

把(1)、(2)、(4)代入式(3)并整理，得到蜗轮在接触线处接触强度：

(5)

1.5 蜗轮蜗杆机构相关参数

某型号的EPS蜗轮蜗杆机构的蜗轮蜗杆的参数，如表1所示：

表1蜗轮蜗杆基本参数

Table 1 Basic parameters of worm and gear

名称齿数齿宽/mm变位系数分度圆导程角/(°)中心距/mm法向齿形角/(°)端面模数/mm蜗轮36150.303617.73蜗杆2360 17.734514.52.0997

蜗轮蜗杆材料的相关参数，如表2所示：

表2 蜗轮蜗杆材料的相关参数

Table 2 The relevant parameters of worm material and gear material

名称密度/(kg/m3)屈服强度/MPa抗拉强度/MPa蜗轮110084140蜗杆78507801080

在解析计算中，以蜗轮退出碰撞的瞬间为研究对象，验证蜗轮退出碰撞的瞬间时齿面上承受的最大接触强度是否超过材料的许用应力。

2 有限元计算

建立蜗轮蜗杆瞬态动力有限元模型，并把有限元计算结果与解析式计算结果进行对比验证。

图1 简化后的蜗轮蜗杆Fig.1 Simplified worm and gear

2.1 有限元法分析

2.1.1 模型简化

由于非线性动态接触分析相对于静态有限元分析更依赖于时间积分，伴随着几何非线性的演变过程，并对计算机设备以及时间要求较高，为了便于分析以及提高计算效率，只考虑一个蜗轮齿与蜗杆啮合时受到的最大接触应力的情况，因此在三维设计软件中，对蜗轮蜗杆进行处理，如图1所示。

2.1.2 前处理

1)通过对汽车EPS蜗轮蜗杆的摩擦系数的测量，得到蜗轮蜗杆在传动过程中的动摩擦系数为0.03～0.08，因此在有限元计算中设置动摩擦系数为0.05；

2)在瞬态动力学的计算中，增强拉格朗日算法相对于拉格朗日算法具有更强的适应性，计算过程易收敛，结果更加准确，因此选用增强拉格朗日算法对蜗轮蜗杆进行瞬态动力学计算；

图2 蜗轮蜗杆网格云图Fig.2 Meshes of worm and gear

3)综合考虑计算效率和计算精度，对蜗轮蜗杆的碰撞过程采用时间步设置，总时长为0.013s，共两百个时间步；

4)在进行结构有限元计算中，相同的网格尺寸以及网格数量的情况下，六面体网格相对于四面体网格在进行动力学计算时更容易收敛、计算时间更短且离散型误差更小。基于这些优点选用六面体网格对蜗轮蜗杆进行网格划分，并保持中间节点，节点数为479578，网格数为13783。网格划分完后，如图2所示。

2.1.3 边界条件

1)如图3、4所示，蜗轮蜗杆相对位置不发生改变，约束蜗轮相对地面转动，蜗杆相对地面转动；

图3 蜗轮相对地面转动Fig.3 The worm wheel rotation relative to the ground

图4 蜗杆相对地面转动Fig.4 The worm rotation relative to the ground

2)如图5所示，固定蜗杆两端，且只释放沿轴线旋转的自由度，即释放蜗轮蜗杆转动约束；

图5 蜗杆自由度的限制Fig.5 The limit of the worm’s freedom degree

3)在0.013s的时间内，蜗杆转速为147.03rad/s，力矩为60N·m，且蜗轮阻力矩为60N·m。

2.1.4 计算结构分析

齿轮在安装时，中心距增大会导致侧隙值随之增加，导致系统出现混沌现象[10]，加剧齿轮啮合的冲击；中心距减小会导致齿侧间隙减小，齿侧间隙过小易发生干涉现象，进而影响系统的动态性能。

基于有限元分析软件得出蜗轮蜗杆在退出碰撞的瞬间时蜗轮受到的最大接触强度，并且蜗轮蜗杆的公差范围在±0.15之间，因此以0.01mm为增长幅值，蜗轮蜗杆中心距依次取值44.97mm、44.98mm、44.99mm以及45.01mm、45.02mm、45.03mm，统计蜗轮在退出碰撞的瞬间时最大接触强度，记录中心距与蜗轮最大接触强度的对应数值，并通过改变蜗轮蜗杆间的中心距，借由三维设计软件得出蜗轮蜗杆对应的侧隙值，如表3所示。

表3 中心距、齿侧间隙和蜗轮退出碰撞瞬间时最大接触强度的相互关系

Table 3 The relationship among the maximum contact strength when the worm wheel exiting collision，center distance and tooth side clearance

名称对应值中心距/mm44.9744.9844.9945.0045.0145.0245.03齿侧间隙/mm0.21280.21990.22700.23420.24130.24850.2556最大接触强度/MPa96.21892.17990.13189.70990.95892.48692.979

由表3得到齿侧间隙与蜗轮在退出碰撞瞬间时的最大接触强度的对应值，由表3绘制出齿侧间隙-蜗轮的最大接触强度关系曲线，如图6所示。

图6 齿侧间隙-蜗轮最大接触强度Fig.6 The relationship of tooth side clearance vs.maximum contact strength of the worm wheel

由图6可得，蜗轮受到的最大接触强度随着齿侧间隙增大先减小后增大，且当齿侧间隙为0.2342mm(即中心距为45mm)时，蜗轮受到的最大接触强度最小。对其予以曲线拟合，拟合曲线满足式(6)：

y=35070405632.00x6-49349698222.72x5+28902644000.61x4-9018296753.98x3+

1581201136.29x2-147714439.57x+5744519.12

(6)

由图6中拟合度R2=1可得拟合曲线可以近似的替代齿侧间隙-蜗轮最大接触强度的关系曲线，可以通过拟合曲线近似预测蜗轮在不同齿侧间隙时的最大接触强度。

2.1.5 解析法与有限元法计算结果对比

当T2=60MPa时，调节中心距，代入公式(5)计算，结果如下表4所示：

表4 解析法与有限元法计算结果对比

Table 4 Comparison between analytical method and finite element method

中心距/mm齿侧间隙/mm有限元法最大值/MPa解析法最大值/MPa差值/MPa增长率/%44.970.212896.218112.62416.40614.5744.980.219992.179106.71414.53513.6244.990.227090.131101.84111.71011.5045.000.234289.70999.1559.4469.5345.010.241390.95899.4978.5298.5745.020.248592.486102.66310.1779.9145.030.255692.979104.35911.38010.90

由表4可得，解析算法得到的最大接触强度也是先减小后增加，当中心距为45mm时，此时蜗轮受到的最大接触强度最小。由于在解析式推导中，未考虑蜗轮轮齿受力变形，及假设蜗轮在接触线上受力均匀，并且瞬间完成碰撞过程，与实际情况不符，使得解析法计算得到的结果大于有限元法计算得到的结果，相差约为8.57%～14.57%。

3 结束语

1)随着蜗轮蜗杆中心距的增加，齿侧间隙呈线性增长的趋势，且蜗轮在退出碰撞的瞬间受到的最大接触强度随齿侧间隙的增加先减小后增大，当齿侧间隙为0.2342mm(即中心距为45mm)时，蜗轮退出碰撞的瞬间受到的最大接触强度最小；

2)齿侧间隙与蜗轮退出碰撞的瞬间的最大接触强度的函数关系与某一六阶函数有很高的拟合度，因此可以通过该函数推测出某一侧隙值或者某一中心距时，蜗轮在退出碰撞的瞬间的最大接触强度，对研究蜗轮蜗杆的寿命以及损伤有一定的参考价值。

参考文献:

[1]杨朋朋,陈晓霞,邢静忠,等.谐波齿轮的侧隙规律研究与有限元模型仿真[J].中国机械工程,2018,29(06):659-665.

[2]KAHRAMAN A，SINGH R.Interactions between time-varying mesh stiffness and clearance non-linearities in a geared system[J].Journal of Sound and Vibration，1991,146(01):135-156.

[3]PARKER RG，VIJAYAKER SM，IMAJO T .Non-linear Dynamic Response of a Spur Gear Pair:Modeling and ExperimentalComparisons[J].Journal of Sound and Vibration.2000，237(03):435-455.

[4]SUN T，HU H Y.Nonlinear dynamics of a planetary gear system with multipleclearances[J].Mechanism and Machine Theory，2003,38(12):1371-1390.

[5]WANG J H，ZHANG Q W，REN H B.Effect ofinvolute contact ratio on the dynamic performance of spur gear with no tooth profile modification[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，2003，16(04):417- 419.

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[7]罗冠炜.两自由度塑性碰撞振动系统的动力学研究[J].力学学报.2016,(32),579-586.

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[9]朱孝录,鄂中凯.齿轮承载能力分析[M].北京:高等教育出版社,1992.

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