验证变力作用下动量定理和能量定理的新实验方案

(上饶师范学院 物理与电子信息学院，江西 上饶 334001)

在大学物理实验中，有验证牛顿第二定律和碰撞定理的实验装置[1]，在气垫导轨上我们研究了恒力作用下的动量定理和能量定理[2]。对变力作用下的动量定理和动能定理的验证，是大学物理中的一个难题。在王振环的验证变力作用下的动量定理[3]实验中运用CBL(以计算器为基础的实验系统的简称)技术，验证重力的冲量等于弹力的冲量，要求物体的初、末速度都是零，受到很大的局限。目前缺少一种具有普遍意义、简单易懂、物理过程明确的验证变力作用下动量定理和动能定理的实验方案[1]。我们利用弹簧对物体提供的变力，提出了新的验证动量定理和动能定理的实验方案和方法。

1 变力作用下的动量定理和动能定理

如图1所示，竖直悬挂的弹簧处于自然状态时，下端在A'点，挂上小球，此时弹簧伸长L，小球静止在O点，以O点(mg=kL)为平衡位置。将小球向上移动到A'点，然后释放，小球在重力和弹力的作用下，在X方向上振动。

忽略小球受到的空气阻力，则小球受到的合外力为：

F=-kx+mg

(1)

图1弹簧振子结构示意图

式中，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧形变量，kx为弹簧的弹力，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长(或压缩)的方向相反，mg为小球的重力。

根据牛顿第二定律微分形式：

(2)

把(2)式代入(1)式，得

(3)

其通解为

(4)

对(4)式求一阶导数，得速度

(5)

对(4)式求二阶导数，得加速度

(6)

当小球在A'点释放，通过O点(mg=kL)平衡位置时开始计时，即t= 0,速度为v=v0，加速度a= 0，代入(5)(6)式，得

(7)

解得

(8)

把(8)式分别代人(4)(5)式，得

(9)

(10)

根据(10)式可知，小球在X方向上做简谐振动。

1.1 动量定理

动量定理指作用于物体的合外力F在时间t1到t2内的冲量等于物体在这一过程中动量的改变量，数学积分形式为：

(11)

把(9)式代入(11)式右边，并积分得

(12)

(12)式左边指物体的动量的改变量，右边指物体的冲量。测出物体速度v1、v2和质量m，代入左边，可求出物体的动量的改变量；测出弹簧劲度系数k、小球速度v0和时间t1、t2，代入右边可求出物体的冲量。比较动量的改变量和外力的冲量是否相等，来验证动量定理。

1.2 动能定理

动能定理指作用于物体的合外力F所做的功等于物体在这过程中动能的改变量，积分形式为：

(13)

把(9)(10)式代入(13)式，并对等式左边积分得

(14)

(14)式左边指合外力F在时间t1到t2内对物体所做的功，右边指物体动能的改变量。测出弹簧劲度系数k、物体速度v0和时间t1、t2，求出物体的合外力F在时间t1到t2内对物体所做的功；测出物体速度v1、v2和质量m，可求出物体动能的改变量。比较外力对物体所做的功和小球动能的改变量是否相等，来验证动能定理。

由(1)式可知，验证动量、动能定理的困难在于测量物体所受的变力F，采用上述的弹簧振子装置，可得到(12)(14)式的结果，由此可知，不含变力F，只需测量物体的即时速度和运动时间，就可验证动量定理和动能定理。采用光电计时器可精确测量速度和时间。

2 实验装置和实验结果

2.1 弹簧劲度系数的测量

如图2所示将弹簧挂在焦利秤的支架B上，在弹簧下端挂上托盘D，调节支架的底脚螺旋E，使弹簧与 A 柱平行。

图2 验证定理的装置结构图

m/gL/cm m/g L/cm 200.380400.485250.406350.459300.432300.433350.458250.407400.485200.381

2.2 速度和时间的测量

将图2中托盘D换成挡光片，忽略挡光片受到的空气阻力，挡光片如图1中的小球一样，在竖直方向上做简谐振动，测出挡光片的质量m，记录在表2的第一列。在柱A上固定好光电门，设挡光片的宽度为d。挡光片通过光电门1，从开始挡光到不挡光的时间为t'1，速度为v1=d/t'1；挡光片通过光电门2，从开始挡光到不挡光的时间为t'2，速度为v2=d/t'2。挡光片通过光电门1开始挡光到达光电门2开始挡光之间的时间为Δt。

挡光片处于图1平衡位置O点(mg=kL)时，调节焦利秤支架的底脚螺旋E，使挡光片恰好在光电门1的正上方光线的边沿，也就是说此时挡光片的一边处于O点，使得挡光片通过光电门1的速度v1等于图1中通过O点速度v0，即有t1= 0，t2= Δt，故(12)式和(14)式可改写为

(15)

(16)

让挡光片从O点的正上方自由下落，依次通过光电门1和光电门2，得到需要测量的物理量Δt、v1和v2，将数据分别记录于表2的第三、第四、第五列。

此时物体的冲量为

(17)

物体的动量改变量为

Δp=mv2-mv1

(18)

物体的冲量与物体的动量改变量的相对差值为

(19)

物体所做的功为

(20)

物体的动能改变量为

(21)

物体所做的功与物体的动能改变量的相对差值为

(22)

结果如表2的第6至第11列所示。改变光电门1、2相隔的距离L，数据记录在表2的第2列，重复上述操作8次。

表2 变力F作用下的实验结果

3 分析讨论

由表2的第8列可知，变力F的冲量与物体的动量改变量的相对差值最大的为第4行，ε=4.854 37%；冲量与动量改变量的相对差值最小的为第5行ε=0.985 22%。冲量与动量改变量的平均相对差值为2.539 085%。文献[4]利用力传感器验证了动量定理，它的相对差值为3.7%；文献[5]用位移传感器验证了动量定理，它的相对差值为2.30%～2.99%。与他们的实验方案相比，我们的实验结果误差更小。

由表2的第11列可知，变力F的功与滑块的动能改变量的相对差值最大的为第4行，m=0.065 7 kg,L=0.065 m,σ=4.215 13%；功与动能改变量的相对差值最小的为第7行，m=0.085 8 kg,L=0.098 m,σ=0.006%。功与动能改变量的平均相对差值为1.4%。可见变力F所做的功与其动能改变量近似相等。

4 结论

上述从胡克定律出发，利用弹力随位移而变化的关系，研究了变力作用下振子的能量转化，将不易测量的变力转化为对时间的测量，分别得到了变力的冲量与动量的增量、所做的功与动能的变化量之间的函数关系，据此，设计了验证动量定理和动能定理的实验方案。实验结果表明较好地验证了合外力的冲量等于物体的动量改变量，合外力所做的功等于物体的动能改变量。提供了一种新的验证动量定理、动能定理的方法。本文结果为大学物理实验课程提供了新的实验内容和方法。

参考文献：

[1] 杨述武，赵立,沈国土,等.普通物理实验(力学、热学部分)[M].北京：高等教育出版社,2007.

[2] 郑雪梅,程元飞,李伟,等.恒力作用下动量和动能定理的新实验方案[J].上饶师范学院学报,2016,36(6):42-44.

[3] 王振环.验证变力作用下的动量定理[J].物理实验,2005,25(10):35-36.

[4] 梁家惠,林耀海.碰撞过程的瞬态数字测量[J].大学物理,1999,18(5):21-23.

[5] 张晴,冯杰.突破动量定理传统实验的“瓶颈”——变力作用下的动量定理DIS实验研究[J].考试周刊,2015,68:133-156.