例谈小学数学教学中的建模过程

摘 要：数学建模是培养学生数学素养的重要途径，体现了解决实际问题的真实全面的过程。在教学中要通过实验操作、符号抽象、探寻关系等方法帮助学生建构数学模型。

关键词：实验操作；符号语言抽象；探寻关系

作者简介：朱萍萍，江苏省扬州市汤汪中心小学教师。（江苏 扬州 225000）

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）07-0009-03

《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“在数学教学中应当引导学生经历建模过程，感悟模型思想。”小学阶段作为模型思想教学的初级阶段，应当抓住合适的时机、利用适当的内容、采取恰当的方式让学生来体验和感悟模型思想，经历数学建模的过程。对于小学数学教学而言，建模的过程实际上就是学生的学习活动经历“数学化”的过程；对于建模教学的过程而言，实际上就是从现实生活或具体的情境中抽象出数学问题，通过动手操作、观察、分析、推理等数学活动完成模型的构建，对模型进行分析、检验的过程。

一、通过实验操作建构数学模型

一个数学模型的建立，往往需要对事物关系进行多层次的发现，多批次的实验，获得一些数据或认识。小学生由于年龄及心理的差异，爱玩、好动，抽象思维差，思维正处在具体形象为主的阶段。例如，在教学“三角形三边关系”这一课时，三角形的三边关系是需要学生建构关于三角形边的模型结构，而这个关系学生往往不容易发现，如果教师采用直接口述的方式，会不利于数学素养的形成。对此，教师可以借助直观实物引导学生开展实验操作活动，经历建构模型的过程，丰富学生动手操作的体验。教学中笔者设计了一系列的实验操作活动：

环节一：提出问题。学生完成下面的实验操作活动：任意选三根小棒，是不是都能围成一个三角形？

在8cm、5cm、4cm、2cm四根小棒中，任选三根小棒搭一搭，看是不是任意的三根小棒都能圍成三角形？（表1）

结论：任意三根小棒 （一定/不一定）能围成三角形。

学生通过实验发现：任意选三根小棒不一定能围成三角形。在此基础上引导学生思考：为什么8cm、5cm、2cm以及8cm、4cm、2cm不能围成三角形？学生会说：5cm和2cm搭的时候够不着，4cm和2cm搭的时候也是这样的。进而引导得出猜想：两条边的长度加起来要比第三条边长。

环节二：要想围成一个三角形，三根小棒中两条边的长度加起来是不是要比第三条边的长？带着这样的问题完成下面的实验。（表2，P10）

学生在实验的过程中发现：因为5cm和3cm合起来刚好等于8cm，围不成三角形；8cm、5cm合起来是13cm，也围不起来；8cm、5cm的和比14小，也围不起来；其余的情况都可以围成三角形。从而进一步确信自己的猜想：要想围成三角形，任意两条边的长度和要大于第三边。

1. 从围成三角形的三根小棒中任意选出两根，将它们长度的和与第三根比较，结果怎样？

□+□○□ □+□○□ □+□○□

2. 自己任意画两个三角形，先量一量（用毫米做单位，标出长度），再算一算。

① □+□○□ ② □+□○□

□+□○□ □+□○□

□+□○□ □+□○□

结论：

环节三：是不是三角形的任意两条边长度之和都大于第三边？再次通过对已有三角形边的长度的测量操作进行验证。

经过三个环节的实验操作，学生的认识逐步深刻，从而建立起了三角形三边关系的模型，即：三角形任意两边之和大于第三边。

二、引用符号语言帮助建构数学模型

数学语言有三种常用的表现形态，即文字语言形态、符号语言形态和图形语言形态。在小学教学中，随着年级的升高，图形、符号语言形态呈逐步增多的趋势。在数学建模过程中，要引导学生尝试用图形、符号等语言进行抽象建构、表达模型。如“苏教版”六年级“解决问题的策略——假设”教学，问题中有两种未知量，需要通过假设化归为一种未知量，从而解决问题。而假设的关键是如何进行数量关系的转化，从而完成数量关系的重新建构。教学时笔者尝试让学生用自己的画图经验逐步抽象出解决问题的数量关系模型。

例题：将720毫升果汁倒入1个大杯和6个小杯，正好倒满。小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

学生很快找到题目中的数量关系式：6个小杯容量+1个大杯容量=720毫升；小杯容量×3=大杯容量。这是含有两个未知量的问题，学生很快想到将两种杯子假设成一种杯子。如何将两个未知量变成一个未知量，题目中的数量关系式又会怎样变化？学生将他们的想法画在了作业纸上。

展示学生的学习单，发现学生出现了画线段图、画圆圈等方法。

（1）画线段。

（2）画圆圈。

通过画图将两种杯子如何逐步抽象假设成一种杯子的过程变得直观清晰；通过画图学生能够更清楚地整合题目中的数量关系：“6个小杯容量+1个大杯容量=720毫升”“小杯容量×3=大杯容量”，建构了9个小杯容量=720毫升或3个大杯容量=720毫升这样简单的数量关系模型。学生将假设用符号语言描述出来，将两种未知量逐步抽象成一种未知量，从而建构出只有一种未知量的数量关系式。

三、通过探寻关系建构数学模型

数学模型是通过数学语言、符号和图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。数学模型的价值体现在建立过程及以此去解决实际问题，在问题解决中自觉主动地寻求适应需求的数学模型，才是学生真正具有模型意识的具体体现。

例如，在六年级教材中多次出现“圆与正方形关系”的内容，学生往往就题论题，没有形成建模意识，若题目稍加变化就会显得束手无策。如果尝试用数学建模的思想来指导解决此类问题，就能引导学生进入到数学的一个新天地。

例1：（如图1）从一个面积是12平方厘米的正方形纸板上剪下一个最大的圆，求圆的面积。

按常规思路，求圆的面积需要半径长度，显然这道题不具备这样的条件，那么就要引导学生思考：在正方形中剪一个最大的圆，这个圆与正方形的面积有什么关系？

这时笔者引导学生回顾探究圆面积公式的过程（如图2），可以发现正方形的边长即为圆的半径，那么，圆的面积就是正方形面积的π倍。引导学生思考将图1中大正方形平均分成4份（如图3），那么圆的面积就是1/4个大正方形面积的π倍，也就是说在正方形纸中剪一个最大的圆，这个圆的面积就是这个正方形面积的π/4倍。所以，圆的面积就是12×π/4=9.42（平方厘米）。

接着出示例2：（如图4）在圆中剪一個最大的正方形，正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？

通常求解正方形的面积，我们是用边长×边长得到的，而此题只是告诉我们正方形的面积是10平方厘米，正方形的边长是无法得知的，那就需要探寻此时正方形面积与圆的面积的关系。

学生受前面解题经验的影响，会设法将正方形进行改变，将正方形平均分成四个相等的等腰直角三角形（如图5）。那么，两个等腰直角三角形就可以拼成边长为r的小正方形（图5中虚线部分），就可以看出圆面积是这个小正方形面积的π倍，从而得出圆面积就是这个大正方形面积的π/2倍。所以，圆的面积就是10×π/2=15.7平方厘米。

总之，建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用。但是，学生在建模过程中一定会遇到诸多的困难，教师应鼓励他们敢于质疑、猜想、发表自己独特的见解，使建构活动更为丰富多彩。

参考文献：

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[2] 林碧珍.数学思维养成课——小学数学这样教[M].福州：福建教育出版社，2013，181+183.

[3] 李其进.小学数学建模教学的起点 过程及应用策略[J].现代中小学教育，2017，（8）：37.

[4] 孟宏生.数学建模 培养数学素养的有效途径[J].教书育人，2011，（31）：42.

责任编辑 黄 晶