Laplace算子的特征函数系在三个空间中的完备性证明方法

邢家省， 杨义川

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院， 北京 100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室， 北京 100191)

引 言

Laplace算子在Dirichlet边界条件下的特征值和特征函数的性质问题[1-11]是偏微分方程中的重要课题，引起了人们持续不断的研究[1-22]。关于特征值的迹问题，在文献[16]中有详尽的综述。对特征函数系的完备性[1-11]，已有多种方法给予证明。然而对特征函数系在多个空间中的完备性，现有文献中给出的证明路线不够明确[1-11]，甚至出现不严密的表述过程[8]，没有达到严密完善的标准程度。本文在前人研究成果的基础上，对特征函数系在三个空间中的完备性分别给予叙述和证明，建立一套标准的证明路线，准确论述了特征函数系的理论结果，推进学术认识发展。

1 Laplace算子在Dirichlet边界条件下的特征值问题

范数记为

(1)

则称λ为算子-Δ的广义特征值，称u为对应于特征值λ的广义特征函数。

在一定条件下，定义2与定义3是等价的[1-18]。

2 第一特征值问题的存在性

若λ,u是问题(1)的特征值与特征函数，则有

此式说明泛函J(u)有正的下界，因此J(u)有下确界。

定义

(2)

即存在

经过展开处理，可得成立

因此，λ1是算子-Δ的特征值，u为对应于特征值λ的特征函数。

式中，取v=w，得

于是λ1是-Δ的最小特征值。

3 算子-Δ的所有特征值和特征函数系

同上可证，λ2,u2满足

即λ2是特征值，u2为对应于特征值λ2的特征函数。

假设已经得出算子-Δ的m-1个特征值，

λ1,λ2,…,λm-1,(m≥1),λ1≤λ2≤…≤λm-1

(3)

对应于λ1,λ2,…,λm-1的特征函数为u1,u2,…,um-1且

(4)

函数组(4)的所有线性组合成为L2(Ω)的一个线性子空间，叫做函数组(4)在L2(Ω)中生成的子空间，记为

Vm-1=span{u1,u2,…,um-1}=

表示Vm-1在L2(Ω)中的正交补空间，即

(5)

就是算子-Δ的第m个特征值。

(6)

(7)

λ1≤λ2≤…≤λm-1≤λm…

(8)

相应的的特征函数序列

u1,u2,…,um-1,um,…

(9)

4 特征值序列{λm}及对应的特征函数系{um}的基本性质

性质2[1-11]对应于不同特征值的特征函数在L2(Ω)中是正交的。

性质4[1-11]对应于同一特征值只有有限个线性无关的特征函数，或者，对应于每一个特征值的特征函数空间是有限维的。

5 特征函数系{um}是空间中的一组正交完备系

易知

证明

由=0，可得(v,uk)=0，(k=1,2,…)。假若v≠0，可设

6 特征函数系{um}是空间L2(Ω)中的一组标准正交完备系

得到{Sn}在L2(Ω)中收敛于u。

7 特征函数系{um}是空间中的一组完备系

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