Laplace算子的特征函数系在三个空间中的完备性证明方法
2018-06-30邢家省杨义川
邢家省， 杨义川
(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院， 北京 100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室， 北京 100191)
引 言
Laplace算子在Dirichlet边界条件下的特征值和特征函数的性质问题[1-11]是偏微分方程中的重要课题，引起了人们持续不断的研究[1-22]。关于特征值的迹问题，在文献[16]中有详尽的综述。对特征函数系的完备性[1-11]，已有多种方法给予证明。然而对特征函数系在多个空间中的完备性，现有文献中给出的证明路线不够明确[1-11]，甚至出现不严密的表述过程[8]，没有达到严密完善的标准程度。本文在前人研究成果的基础上，对特征函数系在三个空间中的完备性分别给予叙述和证明，建立一套标准的证明路线，准确论述了特征函数系的理论结果，推进学术认识发展。
1 Laplace算子在Dirichlet边界条件下的特征值问题
范数记为
(1)
则称λ为算子-Δ的广义特征值，称u为对应于特征值λ的广义特征函数。
在一定条件下，定义2与定义3是等价的[1-18]。
2 第一特征值问题的存在性
若λ,u是问题(1)的特征值与特征函数，则有
此式说明泛函J(u)有正的下界，因此J(u)有下确界。
定义
(2)
即存在
经过展开处理，可得成立
因此，λ1是算子-Δ的特征值，u为对应于特征值λ的特征函数。
式中，取v=w，得
于是λ1是-Δ的最小特征值。
3 算子-Δ的所有特征值和特征函数系
同上可证，λ2,u2满足
即λ2是特征值，u2为对应于特征值λ2的特征函数。
假设已经得出算子-Δ的m-1个特征值，
λ1,λ2,…,λm-1,(m≥1),λ1≤λ2≤…≤λm-1
(3)
对应于λ1,λ2,…,λm-1的特征函数为u1,u2,…,um-1且
(4)
函数组(4)的所有线性组合成为L2(Ω)的一个线性子空间，叫做函数组(4)在L2(Ω)中生成的子空间，记为
Vm-1=span{u1,u2,…,um-1}=
表示Vm-1在L2(Ω)中的正交补空间，即
(5)
就是算子-Δ的第m个特征值。
(6)
(7)
λ1≤λ2≤…≤λm-1≤λm…
(8)
相应的的特征函数序列
u1,u2,…,um-1,um,…
(9)
4 特征值序列{λm}及对应的特征函数系{um}的基本性质
性质2[1-11]对应于不同特征值的特征函数在L2(Ω)中是正交的。
性质4[1-11]对应于同一特征值只有有限个线性无关的特征函数，或者，对应于每一个特征值的特征函数空间是有限维的。
5 特征函数系{um}是空间中的一组正交完备系
易知
证明
由
6 特征函数系{um}是空间L2(Ω)中的一组标准正交完备系
得到{Sn}在L2(Ω)中收敛于u。
7 特征函数系{um}是空间中的一组完备系
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