例谈高中数学有效课堂一道解析几何题的多种解法

摘要：高中数学课堂如何通过有限的授课时间激发学生学习的积极性，培养学生的数学素养，是高中数学课堂是否高效的一个重要标志，笔者通过一道解析几何题的解法探究，充分挖掘了题目的各种解法，使得学生对椭圆的认识有了进一步地加深。

关键词：高中数学；有效课堂；解析几何；椭圆

问题的提出：已知椭圆x24+y23=1，F为左焦点，A，B，C为右、下、上定点，设M是BC上一点，射线MF交椭圆于点N，NF=λFM，求FM的取值范围。

法一：设出M点坐标，利用向量式的等量关系，结合N点在椭圆上求解

设M（0，b），则FM=（1，b），

NF=λFM=（λ，λb），N（-1-λ，-bλ）

∵N在椭圆上，

∴（-1-λ）24+（-bλ）23=1

3（1+λ）2+4b2λ2-12=0

3+6λ+3λ2+4b2λ2-12=0

4b2λ2=-3λ2-6λ+9

b2=-3λ2-6λ+94λ2，b∈[-3，3]

b2∈[0，3]，则-3λ2-6λ+94λ2∈[0，3]

∴λ∈35，1

法二：设直线MN的斜率为k，结合k的范围求解

△NFD∽△MFO，

∴DFFO=|-1-xN|1

由题意，直线MF的斜率一定存在，设为k，所以直线的方程为y=k（x+1）

由y=k（x+1）x24+y23=1得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0

x=-8k2±12k2+14k2+3（取负）

∴xN=-8k2-12k2+14k2+3

λ=NFFM=|-1-xN|=6k2+1-34k2+3

又k∈[-3，3]

令t=6k2+1-3∈[3，9]

∴λ=9tt2+6t=9t+6∈35，1

法三：综合解法一和解法二，该种解法变量较多

设M（0，b），则kMA=b1=b

则lMN：y=b（x+1），设N（m，b（m+1））

代入椭圆可得m24+b2（m+1）23=1

整理可得：

3m2+4b2（m2+2m+1）=12

∴b2=12-3m24（m+12）

λ2=NF2FM2=（m+1）2+b2（m+1）2b2+1=（b2+1）（m+1）2b2+1=（m+1）2

又由y=3（x+1）x24+y23=1得x=0或x=-85

∴m∈-2，-85，λ2∈925，1

∵NF，FM方向相同，∴λ>0

∴λ∈35，1

法四：利用橢圆的第二定义解题

设点N到直线l的距离为d，

设∠MFO=θ，

SF=-c--a2c=a2c-c=3，θ∈-π3，π3

DF=NF·cosθ

d=SF-DF=3-NF·cosθ（1）

将e=NFd代入（1）式，得到

NFe=3-NF·cosθ

∴2NF=3-NF·cosθ

NF=32+cosθ

FM=FOcosθ=1cosθ

λ=|NF||FM|=32+cosθ1cosθ=32cosθ+1

∵θ∈-π3，π3，cosθ∈12，1

∴λ∈35，1

作者简介：

周林，江苏省高邮市，高邮市第二中学。