“边边角”的烦恼

李萍

[摘 要] “边边角”是指两个三角形中有两边和其中一边的对角分别对应相等，在教学过程中，教师往往把“边边角”不一定全等偷换成了“边边角”一定不全等，这需要引起教师的注意. “边边角”的类型较多，教师要充分重视“边边角”问题，做到心中有数，并妥善处理“边边角”教学.

[关键词] “边边角”；三角形；不一定全等

烦恼的起因

笔者最近参加了某地初二数学的一次教研活动，开课老师讲了下面一道题.

试题？摇 如图1.

（1）若∠ABC=∠DBC，要使△ABC≌△DBC，需要添加的一个条件为______；

（2）若AB=DB，要使△ABC≌△DBC，需要添加的一个条件为______.

讲解此题的过程中，教师最后问了一个问题：（2）中添加∠A=∠D可以吗？问题一经提出，学生齐刷刷地回答：“不可以！”教师也强调：“不可以，因为这属于‘边边角.”

学生中没有一个人怀疑，教师备课时也没有考虑到这种情况下△ABC与DBC是全等的，这引起了笔者的烦恼与思考.

“边边角”的名称

“边边角”是什么？讲不清楚，但老师在讲，学生也在讲. 大家都知道，三边分别对应相等的两个三角形全等，它可以简写成“边边边”. 类似地，有“边角边”“角边角”“角角边”，它们都可以用来判定两个三角形全等. 而有两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，它就没有简称了，所以教科书里没有“边边角”这个名称，它是“山寨”的. 教师和学生在讲“边边角”时，实际上是指两个三角形中有两边和其中一边的对角分别对应相等.

概念转换中概念被偷换了

人教版数学教材八年级上册举了这样一个例子：如图2，△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别对应相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等. 这说明，有两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 于是教师“山寨”了“边边角”，其意是不能用“边边角”来判定两个三角形全等，也就是说，有两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不能判定其全等. 这是概念的一次转换. 而烦恼的是，在部分教师和大部分学生中，概念被偷换成了：有两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形一定不全等，即出现“边边角”（直角除外）就一定不全等. 这就出现了上述教研活动中的那一幕.

“边边角”类型较多，教学生

不易

大家都知道，当两边分别对应相等，且其中一边的对角均是直角时，就是三角形全等的另一个判定：斜边和直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”. 所以，此时的“边边角”能使两个三角形全等.

回到前面的图1，连接AD，因为AB=DB，所以∠BAD=∠BDA. 又∠BAC=∠BDC，所以∠CAD=∠CDA. 所以AC=DC. 因此可以通过“边边边”判定△ABC≌△DBC. 虽然，这里给定的条件是两边和其中一边的对角分别对应相等，即“边边角”，但通过连接AD，利用等腰三角形的性质和判定，就可将其转化为用“边边边”证明△ABC≌△DBC. 若图1给定的条件是AB=DB，∠ACB=∠DCB，就真的不能确定这两个三角形全等了：如图3，△ABC與△DBC满足条件，但它们不全等.

当图1变成图4、图5，满足AB=DB，∠A=∠D时，△ABC与△DBC仍然是全等的. 那么，是否两边中公共边所对的角相等时两三角形就全等呢？事实上也不一定. 如图6，当A，C，D三点在一条直线上时，这两个三角形就不能确定全等.

“边边角”的类型较多，其中角为直角时，已有“斜边、直角边”，其余的有些能确定全等，有些不能确定全等. 八年级学生刚学习简单的几何证明，如果教师一股脑儿地让学生全部掌握这些类型，岂不是会乱了学生的思维？所以，怎么教这部分内容还挺让人烦恼的.

烦恼中的思考

从教研活动中开课教师和学生的反应，以及评课时参会教师对上述问题的反应（当笔者对此问题提出自己的看法时，许多教师还没有反应过来），笔者感受到部分初中教师和学生对“边边角”的理解和应用确实有失偏颇. 数学是具有严密逻辑思维的学科，我们不能让我们的学生在刚接触简单严密的逻辑思维训练时，就出现漏洞，这会危及严密的逻辑思维能力培养. 所以，教师要准确理解教材中的说法，即有两边和其中一边的对角分别对应相等时两个三角形不一定全等. 教材中说的不一定全等，是指有的全等，有的不全等，决不能把它偷换成一定不全等，不能一见到“边边角”就断定这两个三角形不全等，这是完全错误的. 我们教师要充分重视这个问题，要多了解“边边角”的各种情况，做到心中有数，同时也要根据量力性原则，不要向学生硬灌输这些知识，造成学生刚学逻辑证明时便有负担，影响其思维的条理性. 不过一定要强调“边边角”只是不能判定全等，并不是说这两个三角形一定不全等，是否全等，还要具体问题具体分析. 遇到“边边角”，但要确定两个三角形全等时，要用其他方法来证明；而要确定它们不全等，可参考图2和图6. 值得注意的是，教师在八年级第一学期编题时，应尽量避开能全等的“边边角”情况.