对一道统考题的探究

2018-06-23山东省烟台市莱州市柴棚中学陈风波

中学数学杂志 2018年12期

关键词：逆时针真题动点

☉山东省烟台市莱州市柴棚中学陈风波

最近，浏览微信朋友圈时，看到一位老同学求助一道初中数学统考题的解法，感觉蛮有意思，写出来与读者分享.

一、感受真题

题目如图1，已知圆O的半径为3，OA=8，P为圆O上的一动点，以PA为边向上作等边△PAM，求线段OM长的最大值.

图1

思路分析：由于此题中有“以PA为边向上作等边△PAM”这个条件，可尝试将△MPO绕着点M逆时针旋转，使得MP与MA重合，这样将所求线段OM和已知长度的两条线段OP，OA转化到同一个三角形中或一条直线上去解.

解析：将△MPO绕着点M逆时针旋转，使得MP与MA重合，如图2所示，连接ON.由旋转性质可知，AN=OP=3，OM=MN，∠PMO=∠AMN.因为△PAM是等边三角形，所以∠PMO+∠OMA=60°，所以∠OMA+∠AMN=60°，所以△OMN也为正三角形，所以OM=ON，所以ON≤OA+AN=11.当O，A，N三点在一条直线上且A在O，N之间时，如图3所示，ON有最大值11，即线段OM长的最大值为11.

点评：解答本题的关键是对条件“以PA为边向上作等边△PAM”的处理，由于等边三角形的特殊性，联想到利用旋转变换，将三条线段OM，OP，OA转化到同一三角形中或一条直线上，问题就解决了.

图2

图3

二、追问拓展

拓展1：将题目中“求线段OM长的最大值”改为“求线段OM长的最小值”.

解析：如图2，仍旧将△MPO绕着点M逆时针旋转，使得MP与MA重合，此时在△OAN中，ON≥|OA－AN|=5，当O，A，N三点在一条直线上且N在O，A之间时，ON有最小值5，如图4所示，所以OM长的最小值是5.

拓展2：将题目中“求线段OM长的最大值”改为“求线段OM长的取值范围”.

图4

解析：根据真题和拓展1中的解析可知，线段OM长的取值范围为5≤OM≤11，当且仅当O，A，N三点在一条直线上时，线段OM长取到最大值和最小值.

拓展3：若将题目中“以PA为边向上作等边△PAM”改成“以PA为边向下作等边△PAM”，求线段OM长的取值范围.

解析：与真题解法类似，将△MPO绕着点M顺时针旋转，使得MP与MA重合，如图5，连接ON.由旋转性质可知，AN=OP=3，OM=MN，∠PMO=∠AMN.因为△PAM是等边三角形，所以∠PMN+∠NMA=60°，所以∠OMP+∠PMN=60°，所以△OMN也为正三角形，所以OM=ON，所以5=|OA－AN|≤ON≤OA+AN=11，所以5≤ON≤11.当O，A，N三点在一条直线上且A在O，N之间时，如图6所示，ON有最大值11，即线段OM长的最大值为11；当O，A，N三点在一条直线上且N在O，A之间时，如图7所示，ON有最小值5，即线段OM长的取值范围是［5，11］.

图5

图6

图7

拓展4：若将题目中条件“以PA为边向上作等边△PAM”改成“以PA为底边向上作等腰直角△PAM”，求线段OM长的取值范围.

思路分析：由于等腰直角三角形的两腰相等，对比真题中的等边三角形有类似之处，试想是不是也可仿照以上解法，利用旋转去解呢？

图8

解析：将△MPO绕着点M逆时针旋转，使得MP与MA重合，如图8所示，连接ON.由旋转性质可知，AN=OP=3，OM=MN，∠PMO=∠AMN.因为△PAM是等腰直角三角形，所以∠PMO+∠OMA=90°，所以∠OMA+∠AMN=90°，所以△OMN也为等腰直角三角形，且OM.因为5=|OA－AN|≤ON≤OA+AN=11，所以，所以，当O，A，N三点在一条直线上时，取到等号，如图9，10所示.

图9

图10

三、深入探究

在统考题中，由于所作的是等边三角形，所以通过旋转即可解决所求线段OM的长度，现在，我们再回到问题情境中来，题中点P是定圆O上的动点，过定点A作出的又是特殊的图形——等边三角形，故点M的位置的变化仅依赖于动点P的位置变化，而点P的轨迹是圆O，那么，动点M的轨迹又是什么图形呢？下面就来探究这个问题.

探究1：点P可以看作是由点M绕着点A逆时针旋转60°得到，也就是绕点A逆时针旋转60°得到，以O点为圆心，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（8，0），可设y0），根据旋转矩阵可得］，即由于 x02+y02=9，所以整理有，所以点M的轨迹是以N（4，4为圆心，3为半径的圆.如此，可以作出点M的轨迹，如图11所示，所以OM的最大值为OM1=ON+3=8+3=11，最小值为OM2=ON－3=8－3=5.

我们亦可借助极坐标系来处理：

图11

探究2：以A为极点，OA为极轴建立极坐标系，如图12所示，设M（ρ，θ），则∠OAP=120°－θ，OP=3，OA=8，AP=AM=ρ，在△OPA中，由余弦定理可得，OP2=OA2+AP2－2OA·APcos∠OAP，即9=64+ρ2－2×8ρcos（120°－θ），整理有化成普通方程为（x+4）2+，同样得出点M的轨迹是以为圆心，3为半径的圆.如此，可以作出点M的轨迹，如图13所示，所以OM的最大值为OM1=ON+3=8+3=11，最小值为OM2=ON－3=8－3=5.