精心架构课堂教学 促进学生思维发展——记一节“一次函数的应用”中考复习课的教学实践与思考

☉江苏省南京市六合区竹镇民族中学 何 平

笔者在2018年4月南京市六合区初中数学乡村骨干教师教学研修班课堂展示活动中，开设了一节中考专题复习研究课“一次函数的应用”.这节课从学生的认知基础出发，进行创新设计，以期促进学生深度思考，促进学生的思维向着深刻性、敏捷性等方向发展.下面将笔者的教学设计与思考展现给大家，恳请大家赐教.

一、教学背景

1.教学内容分析

函数是刻画变量之间关系的常用模型，一次函数又是最简单的线性函数，行程类一次函数的应用问题在南京市历年的中考中均有出现，它综合地考查了一次函数、函数图像、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容.在解决此类实际问题时建立一次函数的模型，借助线性示意图分析运动变化过程，有助于学生学会清晰地、准确地、有条理地思考和分析问题，同时还能提高学生的直观想象能力，从而进一步促进学生领会数形结合的思想方法，其综合性比较强，因此，在中考复习时安排一节课是十分必要的.

2.学情分析

九年级的学生已经系统地学习了函数的相关知识，具备了一定的分析和解决问题的能力.笔者所在的学校目前正在尝试“跑班分层”教学模式，本节课笔者选择了A班进行授课，学生整体数学基础较好，有较好的学习积极性，具备一定的自主探究合作交流的能力.但是部分学生解题时仍有忽视函数图像中两个变量的实际意义，不能借助由形到数的转换来理解图像中关键点的意义，直观想象能力还有待提升，思维的深刻性、敏捷性还有发展空间.

二、教学目标

（1）能结合具体情境体会一次函数的意义，通过对函数图像信息的获取，运用一次函数解决简单的实际问题；

（2）经历探索利用函数图像分析问题的过程，理解“以形解数，以数释形”的基本方法，进一步体会数形结合的思想方法；

（3）在探究活动中培养学生形成勤于思考、合作交流的习惯，体会数学的应用价值.

三、教学重、难点

重点：从函数图像中准确获取信息，理解各个关键点的意义；

难点：学会“以形解数，以数释形”进行分析问题基本方法.

四、教学过程

环节1：情境引入，引领思维

问题1：小明为准备体育中考，每天早晨坚持锻炼，某天他匀速跑步到公园，休息一会后匀速骑车回家，能大致反映小明离家的距离y（m）与时间x（s）的函数关系的图像是图1中的（ ）.

图1

变式：图1中能反映小明走过的路程y（m）与时间x（s）的函数关系的图像是（ ）.

分析：从学生熟悉的简单的行程问题入手，借助图像分析函数关系，引导学生理清路程与距离这两个概念的差异，主要是强调审题，弄清楚纵轴的意义及变化过程对问题解决的重要性.

环节2：典型例题，发展思维

例1甲、乙两观光船分别从A、B两港同时出发，相向而行，两船在静水中速度相同，水流速度为5千米/小时，甲船逆流而行4小时到达B港.图2表示甲观光船距A港的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系，结合图像解答下列问题：

图2

问题2：A、B两港距离______千米，船在静水中的速度为______千米/小时.

生1：题目中说甲船逆流而行4小时到达B港，图像上的点M（4，40）说明甲船行驶4个小时，离A港的距离是40千米，所以A、B两港距离是40千米，船的行驶速度为40÷4=10千米/时，因为此时船是逆流航行，所以船在静水中的速度为15千米/时.

师：很好，从图像中获取信息是解题的关键，从图像中可以直观获取线段OM两个端点的坐标，你能画出线段图分析运动过程并解释这两个点的意义吗？

分析：学生尝试画图，教师投影展示并点评.

原点的意义：表示甲船运动过程中的起点（图3）；

M点的意义：表示甲船运动过程中的终点（图4）.

图3

图4

师：借助线段图可以直观地分析运动过程中函数图像上关键点的实际意义，实现以形解数.（板书以形解数）

问题3：在同一坐标系中画出乙船距A港的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图像.

分析：学生独立完成，教师巡视、个别帮扶指导，投影学生作业图5、6展示交流.

图5

图6

生2：乙船顺水行驶速度是20千米/时，因此行驶时间是2小时，所以图像如图5所示.

生3：我认为不对，乙船从B港驶向A港，随着时间的增加，应该离A港越来越近，我认为乙船没出发时离A港40千米，经过2小时到达A港，图像应该是图6.

生2：哦，我没有看清楚纵轴的意义.

师追问：为什么画函数图像时直接把（0，40），（2，0）两个点连接起来呢？图像为什么是直线？难道没有可能是曲线或者是抛物线？

生3：设y=kx+b，把（0，40），（2，0）这两个点的坐标代入就可以得到图像是直线.

生4：我认为不对，你是根据所画的图像求函数表达式，跟老师的问题恰恰相反，我认为要画出图像应该先确定乙船在行驶过程中y与x的函数表达式，根据图4可知在行驶过程中乙船离A港的距离y乙=40－20x，再根据函数表达式即可画出图像.

师：有道理，不过这样画出来的图像应该是一条直线啊？

生4：因为这是行程问题，根据题意自变量的取值范围是0≤x≤2，所以图像是一条线段.

师：很好！我们研究画一个函数的图像要从函数关系式入手，通过列表、描点、连线的方法进行，实现以数释形.（板书以数释形）

问题4：求出发几小时后，两船相距5千米？

分析：学生独立思考5分钟，交流2分钟，教师请学生代表汇报.

生5：设出发x小时两船相距5千米，由题意得：①如图7，两船相遇之前，可得

图7

图8

②如图8，两船相遇之后，可得10x+20x-5=40，于是x=1.5h.

师：图画的很清晰，还有不同方法吗？

生6：我们已经知道y甲=10x，y乙=40－20x，结合运动的线段图可得：①如图9两船相遇之前，由y乙－y甲=5，即40－

图9

图10

②如图10，两船相遇之后，由y甲－y乙=5，即10x－（40－20x）=5，得

（老师板书规范解答过程）

生7：还可以直接看图像，图11中两条线段的交点表示是两船相遇，在相遇之前，乙船离A港远，在图像上看乙与甲的高度差等于5，即y乙－y甲=5；在相遇之后，甲与乙的高度差等于5，即y甲－y乙=5.

分析：从图像中获取相关信息，借助题意直接确定函数关系式，画出函数图像，借助线段图分析运动过程，体验解决问题方法的多样性，感受思维的层次性.同时为了体现示范作用，教师及时板书.

图11

图12

环节3：能力提升，深化思维

问题5：如图12，是甲、乙两观光船之间的距离y（千米）与甲船行驶时间x（小时）之间的函数图像.求线段BC的函数表达式.

追问：图中A、B、C、D各点表示的实际意义是什么？

分析：学生独立思考5分钟，交流3分钟，教师巡视指导并展示关键点B、C的实际意义.

B点的实际意义：如图13，两船相遇时，两船之间距离为0千米，利用方程10x+20x=40或者函数方法：y甲=y乙，即10x=40－20x，可求得.则点B坐标是

图13

图14

C点的实际意义：如图14，从图像上看，过点C之后，距离y增加的速度慢了下来，这说明点C表示乙船已经到达了A港，由于乙船顺水行驶的速度是20千米/小时，行驶2小时到达A港，此时两船之间的距离就是甲船行驶的路程，则点C的坐标是（2，20）.

根据点B、C两点的坐标可以求得图像中BC段的函数表达式为y=30x－40.

分析：对比上题感受y意义的不同，借助图像理解各个关键点的意义，从图像中获取相关信息，借助线段图分析运动过程，借助图像确定函数关系式，灵活运用函数知识解决相关问题.

环节4：课堂小结，感悟方法

（1）通过本节课的学习你认为在观察函数图像获取信息时需要注意什么？

（2）运用函数知识解决行程问题时你学会了哪些方法？收获了哪些数学思想方法？

分析：通过问题进一步引导学生回顾本节课研究的内容，从数和形两个角度提升对一次函数解决行程问题的认识，领悟解题思想方法.

附：板书——知识梳理

五、教学反思

1.深度理解教学内容，一题一课引领思维

在备课时需要深入研究教学内容，特别是中考专题复习课，更需要教师结合教学目标及学情，精心筛选最合适的素材，引领课堂教学的开展.在本节课中，笔者思考一次函数在行程问题中的应用是初中阶段学习的一个难点，并且一次函数应用中行程类问题根据因变量y表示的意义可分为三种类型：（1）表示与出发地的距离，（2）表示与目的地的距离，（3）表示两个运动物体之间的距离，并且以第三类最难.在学生基础比较好情况下，笔者选择了从教学内容的难易程度上进行整体架构，设计了一题一课的课堂教学方式，首先设计结合行程问题判断函数图像，让学生在对比中直观感受变量意义的重要性，发展学生直观想象能力和思维的批判性，接着设计两船行驶的问题，首先，通过从图像中获取信息进行以形解数、再到结合题意画图像、计算两船之间的距离，再改变变量y的意义，结合图像解决问题实现以数解形，通过例题的不断变式，逐步完成上述问题类型，通过设计一根主线，减少学生阅读多个问题情境的障碍，有利于学生深入探究行程类问题，形成完整的认知结构，引领思维自然生长.

2.精心设计教学活动，变式探究发展思维

数学活动是课堂教学的关键，专题复习课更应如此.通过典型问题、热点问题，借助问题串激发学生深入思考，可以有效引领学生提升思维层次.在问题3的教学中，学生利用两点坐标画函数图像，此时的追问启发学生深入思考，在追问中学生2知道了自己忽视了纵轴的意义，学生3则是盲目地使用待定系数法求函数表达式，忽视了图像还没画出来，在一段时间的思考之后，学生4的解答让大家重新认识到画函数图像的操作流程应该先确定函数表达式，再进行列表、描点、连线.通过问题4的解答，学生的思维层次进一步被拉伸，学生通过利用方程解法、函数关系式解法、图像解法，在一题多解中丰富了解题经验，拓宽了解题思路，有利于学生在对比中寻找适合自己的方法，在优化自己解题策略的同时提升了学生思维的灵活性、敏捷性.通过问题5的变式探究，学生通过独立思考画图分析有效的突破难点，学生的思维深刻性更是得到了充分的发展.

3.整体感悟数学思想，合作交流深化思维

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“学生是学习的主体，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，学生在参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步积累数学活动经验，感悟数学思想.”在一轮复习课中，要充分发挥学生的积极性，在例题呈现之后，让学生独立思考一定的时间，再进行小组合作交流，这样充分落实了学生的主体性，在问题4和5的解决中教师引导学生不断的思考，适时的追问点拨，学生在独立思考、合作交流中画出线性示意图，结合运动过程理解图像的意义，实现以形解数，在画图探究合作交流的过程中积累了活动经验，在整个问题的解决过程中感悟了数形结合的思想，以及分类的思想，通过充分理解图像之后，利用直观解法，更是发展了学生几何直观的数学素养.

章建跃教授提出数学教学要实现“理解数学、理解学生、理解教学”，本节复习课基于学情架构教学，通过深度思考教学目标，精心选择教学内容，设计一道例题贯穿课堂，利用问题串不断激发学生深度思考；通过探究活动，构建知识结构，丰富学生解题经验，提升思维层次；通过归纳小结，收获思想方法.通过这样的教学活动深入落实对数学、对学生、对教学的理解，逐步提升学生思维的深刻性与敏捷性，从而有效提升复习课的效益.

1.卜以楼.生长构架：复习课的理念创新［J］.中学数学（下），2016（10）.

2.孙守超.一次函数：从图像中获取信息［J］.中学数学教学参考，2017（08）.H