顺应学生思维发展方向 促进学生思维拔节生长——因数和倍数的教学实践与思考

江苏盐城市一小教育集团日月路校区（224005）

【案例背景】

因数和倍数是苏教版教材五年级下册的内容，它是数与代数部分重要的知识之一，是在学生已经初步认识自然数的基础上教学的，它是因数和倍数单元的第一课时，所以能为学生进一步学习本单元的最大公因数和最小公倍数做铺垫。2017年4月我第一次执教，课堂教学环环紧扣且滴水不漏，精致的课堂，精心的设计，良好的教学效果，可我总感觉少了些什么，反思后发现：学生在课堂上虽然较好地掌握了新知，但是思维却被关在笼子里。所谓的环环紧扣，紧紧地束缚了学生思维，充满了暗示的设计和一步一个台阶的铺垫，让学生失去了“英雄用武”的地方。一堂课结束，留给学生的只有摸着石头过河的经验而已。2017年的12月，我再次执教，这次我秉承“让学生思维在课堂上生长”的理念进行授课，教学取得了令人满意的效果。

【教学实践】

课前，我首先深入了解学生，找准学生思维的起点，摸准学生思维发展的方向，顺应学生思维发展的方向来设计教学。如果说第一次的课堂像一件正规的西装，紧紧地束缚着我和学生，第二次的课堂就像一件休闲装，学生的身心是自由的、开放的，学生的思维是活跃的。

一、逐步抽象，开启学生的思维之门

师：看来，用12个小正方形摆不同的长方形，只有3种不同的摆法，由此得到了3个不同的乘法算式。今天我们要研究的内容就藏在这些乘法算式中，就以3×4=12为例。

师：3×4=12，数学上是这么介绍它们之间的关系——3是12的因数，4也是12的因数，也就是3和4都是12的因数。反过来，12是3的倍数，12也是4的倍数。

师：大家都听明白了吗?谁来试着说一说？

师（揭示课题：因数和倍数）：这就是我们今天要研究的内容。

师：这里还有两道算式，你也能像我刚才那样说一说吗？

生1：我要说的是2×6=12，2是12的因数，6也是12的因数。反过来，12是2的倍数，12也是6的倍数。

生2：我要说的是1×12=12,1是12的因数，12也是12的因数。反过来，12是1的倍数,12也是12的倍数。

师：如果不摆图形，谁能出一道类似这样的算式，让大家说一说它们之间的因数与倍数关系。

师：如果隐去算式，只给出方框里的两个数，你能说一说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数吗？

师（出示）：你是怎么想的？

生3：2×6=12，所以6是12的因数。反过来，12是6的倍数。

师：还可以想到什么算式？

生4：12÷6=2。有乘就有除。

师（出示）：你又想到了什么算式？

生5：我想到24÷12=2，所以12是24的因数。反过来，24是12的倍数。

师：这两题里都有哪个数？

生6：12。

师：我能说12是倍数吗？为什么？

生7：不能，要说清楚12是谁的倍数。12和24在一起的时候,12是24的因数。

师：是的，因数和倍数表达的是两个数之间的关系，它们是相互依存的。要说清楚谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

师（出示）:它们之间存在因数和倍数的关系吗？

生8：不存在！12个小正方形，每排摆5个，不能摆出长方形。

师：是的。要注意的是，因数和倍数所说的数一般指不是0的自然数。

师：看来你们已经掌握因数和倍数的概念了。下面一起做一个游戏。我给出一个数36，请你报出一个数，然后说出它和36的关系及想到的算式。

生9：18。18是36的因数，36是18的倍数，我想到的算式是36÷18=2。

生10：4。4是36的因数，36是4的倍数，我想到的算式是 4×9=36。

生11：72。36是72的因数，72是36的倍数，我想到的算式是 72÷36=2。

……

【思考：首先，采用直观形象的“用12个小正方形摆不同的长方形”的活动，得到乘法算式，教师根据其中的一个乘法算式“3×4=12”，介绍了因数和倍数的概念，然后让学生说出另外两个算式中存在的因数和倍数的关系，让学生初步感受因数和倍数的概念，并加以运用。其次，让学生不依赖正方形，直接说出一道算式，由其他同学说说这道算式存在的因数和倍数的关系，从而顺利完成了第一步的抽象。紧接着，只给两个数，要求学生说出哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。学生看到熟悉的6和12，能迅速调动之前拼长方形活动中积累的经验，顺利完成知识的正迁移，完成了第二次抽象，此时学生的思维之门已经悄然打开。最后，只给一个数36，让学生报出一个数，并说出这个数和36的关系及想到的算式，激活了学生思维的兴奋点。】

二、自主探索，推进学生思维的深入

师:我发现绝大部分同学报的都是36的因数，只有两位同学报的是36的倍数。那下面我们就先来研究如何找36的因数。

师：你准备怎么找36的因数？

生1：4×9=36，4 和 9 都是 36 的因数。

师：你用（ ）×（ ）=36就找到了36的2个因数。

师：看来找36的一对因数不难，难就难在找出36的所有因数。想一想，怎么找才能不遗漏、不重复？

（课件出示：你能找到36的所有因数吗？

1.想一想：怎么找才能不遗漏、不重复？

用算式记录下你的想法，填写在右边的方框里。

2.写一写：把36的所有因数写在横线上。

36的因数有：________________。

3.完成后，先在小组里交流，说出你的想法。）

生2：我写的算式有 4×9=36，6×6=36，1×36=36，2×18=36，找到 36 的因数有 4、9、6、6、1、36、2、18。

生3：他这里写了两个6，重复了，只要写一个就行了。他还少写3和12两个因数。

师：是的，相同的因数只要写一个就行了。想一想，怎么找才能不遗漏、不重复？

生4：乘法算式从1×36=36开始，按顺序接着写2×18=36，3×12=36 ，4×9=36 ，6×6=36。这样一看就很清楚，而且不遗漏。

师：他说到了一个词语——顺序。也就是有序地列举出36的所有因数，这样能防止遗漏和重复。

【思考：在游戏中，由于36这个数相对较大，绝大部分学生报出的是36的因数，只有一个学生会报出36的倍数。顺着学生思维发展的方向，教师就可以引导学生先研究如何找36的所有因数，此时学生迅速调动之前刚获得的经验，开始列举36的因数，但是一开始的列举是无序的、不全面的，在思考怎么找才能不重复、不遗漏的过程中，学生发现需要进行有序地列举。这样，在自主探索的过程中，学生的思维在不断地向深处行进。】

三、猜数游戏，促进学生思维的生长

师：下面我们来玩一个猜数游戏，比比谁的脑力好。

师：有一个数，它有5个因数，按从小到大的顺序这样排，分别对应这五张卡片。（五张卡片依次贴在黑板上，卡片的背面分别写着 1、2、4、8、16）

师：想一想，不需要翻就能知道哪一张卡片上的数？为什么？

生1：不翻就能知道第一张卡片上的数是1，因为任何一个自然数的最小因数就是1。

师：恭喜你，非常正确。

师：翻开哪一张就能知道这个数是多少？为什么？

生2：翻开最后一张卡片，就知道这个数是多少。因为每一个自然数，它的最大因数就是它本身。

师：你真棒！

师：那剩余的几个因数应该在谁和谁之间？为什么？

生3：剩余几个因数应该在1和16之间。因为16最小的因数是1，最大的因数是它本身16，所以其他因数应该在1和16之间。

师：这说明一个数的因数的个数是有限的。

师：下面我们接着玩猜数游戏。这里有一个数，我依找出它的前五个倍数，并按从小到大的顺序排列好。（教师把五张卡片依次贴在黑板上，卡片的背面分别写着 5、10、15、20、25）

师：翻开哪一张就能知道这个数是多少？为什么？

生4：翻开第一张，就能知道这个数是多少。因为任何一个自然数，它的第一个倍数就是用它乘1，也就等于它本身。

师:完全正确。还有不同的意见吗？

生5：翻开任何一张都可以。第一张的数是这个数的1倍，第二张的数是这个数的2倍，第三张的数是这个数的3倍……依次类推，第五张的数除以5就可以得到这个数。

（教室响起热烈的掌声）

师：如果让你继续找下去，还可以找到5的倍数吗？能找多少个？为什么？

生6：如果继续找下去，可以找到无数个5的倍数，从5的一倍开始，5的两倍，5的三倍到5的无数倍，所以5的倍数有无数个。

师：那一个数的倍数的个数是——

生（齐）：无限的。

【思考：在本环节的猜数游戏中，学生情绪饱满，思维活跃。由于在猜数过程中，学生需要根据前面已有几个数的因数和倍数，抽象概括出所有自然数的因数和倍数的共同特点，因此，在抽象、概括和推理的过程中，学生的思维在拔节生长。】

【案例反思】

1.开放的课堂，学生思维生长的沃土

“因数和倍数”属于概念性的教学内容。我在第一次上课时不敢放手让学生自主探索、自主构建，人为地搭起了密密麻麻的脚手架，环环紧扣、完整的设计，使学生失去了思考的自由性，在教师强拉硬拽的牵引之下，学生只能跟着教师走，思维的发展受到了限制，所以教师和学生都感受到了无形的束缚感。第二次上课时，我采取了开放式的教学设计，遵循学生思维发展的规律，顺应学生思维发展的方向，让学生在思考中经历因数和倍数概念的逐步抽象过程，学生在自主探索找一个数的因数和倍数的方法过程中，思维在不断地向深处行进。

2.活动中的追问，学生思维生长的阶梯

数学是思维的体操，问题是思维的阶梯！第二次上课时，我主要让学生自主学习，通过以问引思，促进学生思维的发展。学生在自主探索如何找36的因数时，我的追问“怎样找才能不重复，不遗漏？”就能引导学生的思考走向深层次，学生的思维也随之拾级而上。接下来的猜数游戏中，学生思维的激情完全被点燃，学生在抽象概括出所有自然数的因数和倍数的共同特点的过程中，思维力在慢慢地生长，数学思想方法的种子也悄然播种在学生心田上。