有奖解题擂台115号问题的加强

福建省福清第三中学

何 灯 (邮编：350315)

设△ABC的三条边长为a、b、c,其内切圆半径、外接圆半径、半周长、面积分别为r、R、s、S.对应边上的角平分线长分别为wa、wb、wc.

2018年2月的《中学数学教学》上刊登了有奖解题擂台115号问题

①

本题由于其简洁优美的形式，吸引着众多不等式研究者的关注.本文拟给出上述不等式的一个加强.

②

由欧拉不等式R≥2r知式②强于式①.

定理的证明需要如下引理

定理证明由柯西不等式及引理得

等价于证明16(-R4+28R3r-42R2r2+4Rr3-16r4)(R-2r)2≥0,当R<16r时，注意到

-R4+28R3r-42R2r2+4Rr3-16r4

=(22r-R)(R-2r)3+102r2(R-2r)2+140r3(R-2r)+32r4>0,

从而当R<16r时，f(s)≥0.

综上，得证式(2)成立.

1 匡继昌.常用不等式：4版[M].济南:山东科学技术出版社,2010:271

2 陈计,王振.三角形角平分线的平方和[J],中学教研(数学),1993)(1):36-38