基于核心素养的高三数学复习课教学案例研究

陈诚

摘 要：本文对课本上的两个经典例题进行深入的研究，综合高中各个板块的知识，各种解题的基本技巧与方法，将我们的高三复习课堂变得有滋有味，从而提高学生分析问题与解决问题的能力，提高学生对数学研究的兴趣，进而提高数学的数学素养，达到复习课堂的双赢。

关键词：高三复习；课本经典例题 探究；核心素养

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2018）08-071-01

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现在高三的数学复习课堂充斥着大量的试题，如何使之有用，真正提高学生的数学核心素养与能力，是我们高三数学复习课堂应该关注的焦点，尤其针对经典例题的教学，如果我们给学生一个平台，说不定学生给我们的是一片天空！以下笔者以普通高中课程标准实验教科书中的一个经典例题为载体，使学生在解决问题的过程中“明其术，通其法，融其身”

案例 人民教育出版社《数学选修4-4》第4页有这样一个例题：

已知ΔABC的三边a，b，c满足b2+c2=5a2，BE，CF分别为AC，AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。

解法：如图1，以ΔABC的顶点A为原点O，边AB所在直线为 x轴，建立直角坐标系。（具体推导见课本）

探究

你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？

以上解法与探究都是课本所提供，编者意图是落实坐标方法，如果放入高三复习的大环境中，适当开启学生的思维，做一下探究，相信学生会觉得这样的复习课趣味无穷，学生的数学核心素养会得到更大的提升！

探究一：在解答过程中的关系式2x2+2y2+2c2-5cx=0 你有什么想法？

可以考察学生对数式结构特征的直觉能力和方程的轨迹的认识。

如：方程2x2+2y2+2c2-5cx=0即 2+y2= c2.此表明，若边c固定，则点C的运动轨迹是圆（不含边c所在直线上两点），而且该圆经过点F.

探究二：已知ΔABC的三边a，b，c，BE ，CF分别为AC，AB上的中线，则b2+c2=5a2是BE⊥CF的充要条件吗？

根据解答过程，发现可逆，易知为充要条件。

探究三：你能用尺规作图，画出一个满足上述条件的三角形吗？

在探究二的基础上易得如下画法：

第一步：任作一线段AB，取中点F；第二步：过点F任作一射线FG（不与AB重合），过B做FG的垂线，垂足为G；第三步：以G为圆心，FG为半径作圆与射线FG相交于点D， 以D为圆心，DG为半径作圆与射线FG相交于点C，则FC=3FG；第四步：连接BC，AC，△ABC即为一个满足上述条件的三角形。

探究四：若边c固定，借助信息技术，你能发现BE与CF的交点的轨迹有特殊规律吗？若有，能否证明。

有了探究二，利用几何画板软件就可以作图（如图2），再进而作出轨迹，层层递进，为学生运用现代技术手段进行研究创设条件，激发兴趣，孕育科学发现的契机。

解法一（相关点法）：如图，以ΔABC的顶点A为原点O，边AB所在直线

为x轴，建立直角坐标系。由已知，点A，B，F的坐标分别为

A（0，0），B（c，0） 设点C的坐标为（x0，y0）.则G （后面解法略）

解法二（定义法）：因为∠FGB=90°，所以点G在以BF为直径的圆上。

探究五：本题可看作是一个解三角形问题，所以点C的坐标还有别的设法吗？

如果考虑到边长，一般会做如下设法：

设点A，B，C的坐标分别为A（0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）.（后面解法略）

探究六：平面向量在很多地方都大显身手，在这里可以吗？

南宋诗人朱熹的《观书有感二首》寫到：半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。问渠哪得清如许？为有源头活水来。我们高三复习课堂这“半亩方塘”是有那永不枯竭的源头——教材，她源源不断地给它输送了活水——经典例题。面对当前高三学生数学学习兴趣不浓，学习枯燥乏味等问题，根据高三学生的生理与心理特征以及数学知识的储备，笔者认为我们在这“半亩方塘”中将教材中的经典例题这些“源头活水”做些归纳整理与探究，从而让老师与学生在我们的课堂上“共徘徊”，那是一件多么幸福的事情啊！

[参考文献]

[1]刘绍学，主编.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修4-4）[M].北京：人民教育出版社.2007.4.

[2]刘绍学，主编.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2-1）[M].北京：人民教育出版社.2007.81.

[3]黄元华.一道课本例题的结论拓展及其应用[J].中学数学教学参考，2011（4）：26-28.