Diophantine方程 x2 - 18 y2=1与 y2 - 2n z2= 16的公解

钱立凯

（曲靖师范学院 教师教育学院，云南 曲靖 655011）

方程

是一类重要的 Diophantine方程，其公解问题一直受到数论研究者的关注。

关于m=1，n=1时，方程组(1)的解的情况，目前结论还比较少[1-5]。m=1，n=4时，方程组(1)的解已有结果[6-12]；m=1，n=16时方程组(1)成为：

的解的情况，目前无相关结果。本文主要讨论

时方程组(2)的解的情况，即方程组

解的情况。

1 关键性引理

引理1[13]设p是一奇素数，则丢番图方程

的正整数解只有

引理2设( xn, yn)，n∈Z为Pell方程

的所有解，则对任意的xn，yn具有如下性质：xn为平方数当且仅当n=0。

证明设( xn, yn)(n∈Z)是 Pell方程

的整数解。若 xn= a2，代入方程

可得

又由引理1知，方程

此时 xn=1，从而n=0；反之显然。

2 定理及证明

定理若n ∈ Z+，则Diophantine方程

情形1n为偶数

设n=2k，k ∈ Z+，则由方程(5)可得

由此可得，当n为偶数时，方程组(3)只有公解

两两互素。由引理2知，xk-1为平方数仅当k=1，故k≠1时，xk-1不为平方数。又由(II)知，

不为平方数的2倍，所以此时(8)式无整数解，则方程组(3)无公解。

两两互素。

由引理 2知，xk为平方数当且仅当k=0，故k≠0时，xk不为平方数。又由(II)知，

不为平方数的2倍，此时(8)式无整数解，则方程组(3)无公解。

因为n为奇数，故(12)式左边为平方数的 2倍，(12)式右边为平方数的奇数倍，显然矛盾，故(6)式不成立，此时方程组(3)无公解。

综上所述，定理得证。

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