从“统得过死”到“放得过开”，再到“收放自如”——以“分数乘整数”的教学为例

◇常立钢

教学片段A：

师：同学们，今天我们来学习“分数乘整数”（板书课题）。请看（出示例1），这道题已知什么信息？要求什么问题？如何列式？

（生答略）

以我们先用加法来算一算，用加法怎么算呢？

师：大家看，这里的3个2 相加，用乘法怎么表示？

生：2×3。

师：所以，以后遇到分数乘整数时，分母不变，只需要将分子和整数相乘的积作为分子。

……

在教学片段A 中，当学生遇到分数乘整数的计算时，老师先说“没有学过”，于是就领着学生用加法来算，然后启发学生思考加法和乘法的关系，从而得出分数乘整数的计算方法。这样的教学，学生没有尝试和探究，没有体验和发现，基本上被老师掌控着学习的进程，课堂被老师“统得过死”。

教学片段B：

师：同学们，下面请第×组同学来展示。

生1：下面我们组给大家汇报“学习单”第3题的解答方法。

生2：这道题是：已知小新、爸爸、妈妈一起吃一个蛋糕，每人吃了个，求3人一共吃了多少个。

生3：通过自学课本，我们发现这道题可以

生4：我们组发现分数乘整数，可以用分子乘整数的积作为分子，分母不变。×3 我们组是这样计算的，用2 乘3 等于6，分母不变，结果等于，约分后是。

生1：以上是我们组的展示，请同学们对我们的展示进行点评和质疑。

生5：你们组展示得非常好，分工明确，讲解详细。

生6：你们组的板书很工整。

生1：还有谁给我们组点评和质疑？

生7：（小声）为什么要用分子和整数相乘，而不用分母和整数相乘？

生8：课本上不是写得很清楚吗？这样的问题还用问？

生1：还有谁给我们组点评？

（没有学生回应）

生1：谢谢大家！我们组的展示到此结束。

师：通过刚才的展示，相信大家已经学会了分数乘整数的计算方法，下面哪个组来展示学习单的“巩固练习”部分？

……

在以学生为主体的课改理念下，很多老师都意识到教学中“放手”的重要性，逐渐形成了以“学生先学”“学生体验”“学生发现”“学生总结”为特征的自主课堂，主要标志是“导学案”“研学单”“课前小研究”等的出现。但是，课堂上“放”的同时，课堂低效的问题也应运而生。在上面的教学片段中，学生的主体地位得到了凸显和加强。可是，在课后检测中，约有40%的学生在计算时出错，约有60%的学生不能回答“为什么让分子和整数相乘”。

对于这样的课堂，有些人的评价是“放得过开”，有些人认为是“自主探究惹的祸”。为什么有些课堂要么“统得过死”，要么“放得过开”，不能做到“收放自如”吗？

华东师范大学课程与教学研究所崔允漷教授在《基于课程标准：让教学“回家”》一文中指出，一种完整的教育教学活动至少要回答以下四个核心问题：“为什么教”“教什么”“怎么教”“教到什么程度”，只有这四个问题具有逻辑上和行动上的一致性，才能说该教育教学活动是完整的、专业的。如果只有“教什么”“怎么教”，而没有“为什么教”“教到什么程度”，那么，“教什么”“怎么教”是没有方向的，就像一个旅人行走在没有目的地的路上……

在教学片段B 中，老师认为的“教什么”是不完整的，因为本节课不只是分数乘整数的算理和算法，还应该有分数乘整数的意义的教学，可是，在上面的教学片段里没有体现意义的教学。

在教学片段B 中，老师认为的“怎么教”也是不准确的。对于分数乘整数的教学，老师可以引导学生结合具体的情景，利用已有的经验尝试解答，然后在展示交流中，通过生生互动，逐渐理解乘的道理，归纳出计算的方法。可是，学生只是对分数乘整数的计算方法进行了“搬家”，并没有经历数学知识形成的过程，可以看出老师是不清楚“怎么教”的。于是，当一个学生提出“为什么要用分子和整数相乘，而不用分母和整数相乘”时，老师没有保护这个学生提问的积极性，没有及时地引导学生去探究乘的道理。

崔教授说，教师只有明白了“为什么教”“教到什么程度”，才能明白“教什么”“怎么教”。“为什么教”“教到什么程度”涉及目的问题，而“教什么”“怎么教”涉及手段问题。也就是说，在“分数乘整数”的教学中，之所以老师不明白“怎么教”“教什么”，是因为不清楚“为什么教”和“教到什么程度”。

因此，作为教师要根据学科课程标准的相关要求，结合教学内容和学情分析，制定出本节课的教学目标，这样既清楚“为什么教”和“教到什么程度”，又清楚“教什么”“怎么教”。本节课的教学目标可以制定如下：

（1）结合具体情境说出分数乘整数算式所表示的意义，能列出分数乘整数的算式来解决问题。

（2）通过动手操作活动，理解分数乘整数中用分子和整数相乘的道理，能用自己的语言说出算法的含义。

（3）通过观察和分析，归纳出分数乘整数的计算方法，能较熟练地进行分数乘整数的计算。

当明确了目标之后，教师就应该设想“我用什么样的检测工具可以检测学生目标达成情况”，例如可以通过观察、提问、表演、交流、练习、测试、作品等了解学生已经学习到了什么，也就是说，要进行评价任务的设计（如表1 第二栏部分）。接下来，要围绕教学目标开展本节课的教学活动，同时要做到“目标、教学和评价”的一致性，当学生在课堂上的表现没有实现教学目标时，要根据教学目标的要求，调整教学，以更好地实现教学目标（如表1 第三栏部分）。

表1

（上接表1）

教学片段C：

生1：下面我们组给大家汇报“学习单”第3 题。生2：已知小新、爸爸、妈妈一起吃一个蛋糕，每人吃了个，要求的问题是3人一共吃多少个。我们是这样画图的，先把一个圆平均分成9 份，涂其中的2 份，这就是个，再画 2个这样的个，就是3人一共吃的（边指着小黑板上的3个个圆边说）。

生3：我们发现这道题可以用两种方法来解答。第一种方法是：（个）；第二种方法是：

生1：以上是我们组的展示，请同学们针对我们组的展示进行点评和质疑。

生5：我们组画的和你们组的不一样，我们组只画了一个圆，把一个圆平均分成9 份，用红色彩笔涂2 份表示小新吃的，用蓝色彩笔涂出2份表示爸爸吃的，再用黄色彩笔涂出2 份表示妈妈吃的。

生6：我补充一下，画图不一定都用圆，我们组画图时是用长方形表示的蛋糕。

生7：我们组画的是线段图，用一条线段表示一个蛋糕，先把它平均分成9 份，这2 份表示小新吃的，这2 份表示爸爸吃的，这2 份表示妈妈吃的（生边说边指着小黑板）。

生1：谢谢大家的补充，我们组的展示到此结束，有请下一组展示。

生8：下面我们组给大家汇报导学案“先学部分”第3 题的第3 问，回顾与反思。第1 小问，×3 表示的是 3个相加的和是多少，因为

生9：我们是这样算的，用整数3 乘分子2等于6，分母不变，等于，约分后是。

生8：以上是我们组的展示，请同学们点评和质疑。

生10：为什么整数3 只与分子相乘，不与分母相乘？

师：问得非常好。

生8:我来回答，看我们前面画的图就非常清楚了，把一个圆平均分成9 份，每份就是，这 2份是小新吃的，这2 份是爸爸吃的，这2 份是妈妈吃的，那一共就有3个 2 份，也就是3×2 份，每份都是，一共是。所以整数3 只与分子相乘，不与分母相乘（生边说边指着小黑板上的图）。

生12：我尝试了一下，如果整数3 也与分母相乘的话，结果就等于了，答案明显是错误的；如果整数3 只与分母相乘，不与分子相乘，结果就是，就更不对了。

师：同学们太了不起了，不但能利用直观图形和分数乘整数的意义解释为什么整数3只与分子相乘，不与分母相乘，还从反面说明了整数不能与分母相乘。把掌声送给这些同学。

在教学片段C 中，我们可以看出：1．引导学生经历了知识的产生过程。

在上面的片段中，学生展示时说：“先把一个圆平均分成9 份，涂其中的2 份，这就是个，再画2个这样的个，就是个。”这说明学生在借助画图操作活动理解分数乘整数的计算方法，实现了对算理的理解。

2．学习内容完整。

经过目标叙写，本节课的内容体系被完整地呈现出来，落实在先学设计和课堂教学中，实现了知识点教学的完整性。

3．实现有效指导。

在上面的片段中，老师有意识地引发学生质疑“为什么用分数的分子和整数相乘”，从而带领学生去探究分数乘整数的算理，帮助那些没有实现学习目标的学生实现学习目标，提高课堂教学效率。在课后反馈中，约有95%以上的学生计算分数乘整数时未出现错误，约90%以上的学生都能回答“为什么让分子和整数相乘”。这样的教学避免了传统课堂的“统得过死”，又避免了某些自主课堂“放得过开”，从而实现了“收放自如”。