以深入探究促深度思考——“分数的再认识（一）”教学设计及反思

◇设计/邵 钦 点评/张春莉 余 瑶

教学内容分析

“分数再认识（一）”是北师大版教材五年级上册第五单元“分数的意义”的第一课。学生在三年级已从直观上初步认识了分数，那么这节课学生还需要学习什么呢？

史宁中教授认为，最重要的分数应该是真分数，它代表一个事物或一个整体的一部分，其本质在于它的无量纲性。教材这样描述分数的意义：“把整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。”它具有以下三个方面的内涵：第一，认识“整体”，其实是对单位“1”的认识和丰富，这个单位“1”是一个更抽象的量；第二，认识“平均分的份数与其中的份数”，从份数的角度描述部分量和整体量（标准量或单位“1”），这两个量不只是具体的数量，要把具体的数量根据相应的关系转化为抽象的分数，同时两个量的关系相互依存，一个量发生变化分数也会发生变化；第三，“用分数表示”，用分数刻画部分量与整体量的关系，或是份数间比的关系。

学生对关系的认识需经历构建关系—表达关系—理解关系的过程，其中“构建”是关键，借助面积模型让学生独立探索解决；“表达”是手段，借助语言帮助学生将分数的认识外显化；“理解”是目标，需要通过交流达成。

基于以上的思考，我们认为教师需要设计开放的话题或学习素材，引导学生思考，以问题为驱动，以交流为媒介，深度认识分数。

教学过程

一、唤醒对分数的回忆

师：想一想，三年级时我们对分数有过哪些认识？

生1：分数是由分子、分母、分数线组成的。

生2：分数就是从一个图形里分出几小份儿，再从小份儿里取出几份。

生3：分母表示平均分了几份，分子表示取了其中的几份。

教师让学生在黑板上用图表示出一个分数，并把这个分数写出来，接着进一步说明：我们还学习过阴影部分可以用分数来表示。同时引出课题。

设计意图：通过唤醒学生对分数初步认识的回忆，初步感知分数的分母、分子与图形中的整体、部分之间的关联，为后续学习做好准备。

二、初步构建部分与整体的关系

1.借助面积模型独立探索解决。

教师出示尝试解决的问题及对学生独立探索的提示，请学生进行阅读和说明。

尝试解决：用分数表示图中的涂色部分。（如图1）

提示：①可以从你认为简单的纸条开始尝试解决，有可能会受到启发。②将表示出的分数写在涂色部分里。

图1

教师为每个学生准备了三张纸条，让学生尝试独立解决。

设计意图：三张纸条的设计为每个学生再次认识分数提供了既熟悉又陌生的问题情境。熟悉的是面积模型是初步认识分数时学生所使用学具的继续沿用，陌生的是面积模型的结构并不清晰，需要学生自主构建面积模型的结构，并用分数来表达。从简单问题入手引导学生解决问题的设计，不仅唤醒了学生已有经验，使他们能够自觉想办法借助已有经验尝试解决问题，还激发了学生的探究欲望，为后续问题的解决奠定了基础。

2.反馈独立探索的过程。

教师根据学生对“哪张纸条解决起来最容易”的回应，首先对第二张纸条进行反馈。

师：第二张纸条用哪个分数表示？你是怎么想的？

生1：测量的方法。用尺子量出涂色部分是4厘米，空白部分是12厘米，整体的长度是12+4＝16（厘米），涂色的部分用表示。（如图 2 ）

图2

生2：折的方法。以涂色部分为标准，把它折一折，然后打开看，整体被平均分成了这样的4部分，阴影部分用表示。（如图 3 ）

图3

师：第三张纸条用哪个分数表示？你们是怎么想的？

生1：画格子的方法。把整张纸平均分成了20个小格，阴影部分占5个这样的小格儿，所以用表示。（如图4）

图4

生2：画格子+移格子的方法。如果把阴影部分底下的一块移到上面，上面的一块移到下面就正好是这样的4 部分。画三角的5个是一部分、画圆的5个是一部分、画五角星的5个是一部分、画正方形的5个是一部分，我们就可以用表示其中的一部分。（如图5）

图5

生3：画格子+移格子的方法。打好了格子，然后进行平移，这样移成了4 行，涂色部分的这1 行就相当于。（如图 6）

图6

在确定了对于这张纸条学生没有再想表达的之后，教师将图片贴在黑板上，并用和这两个分数表示。

师：第一张纸条用哪个分数表示？你是怎么想的？

生1：将涂色部分进一步细分的方法。按阴影部分的长度把它折过去，发现后面还剩一些，将阴影部分再折，发现正好能折完。把它打开发现一共有5 份，阴影部分占2 份，用表示。（如图 7）

图7

生2：测量的方法。阴影部分长4厘米，总长是10厘米，阴影部分的面积就占长方形面积的。（如图 8）

图8

设计意图：反馈的环节由简单入手逐一展开，每幅图学生能够充分表达自己的思考过程，对于如何在图中构建出清晰结构关系、如何用分数进行表示以及用哪些分数表示、为什么用这个分数表示等，学生都做出了具体的解释。解释的过程就是构建部分与整体关系的过程，也是将图中每部分与分数中每部分建立联系的过程。这样的操作反馈活动使学生的思维过程得以外显，为进一步理解分数的意义提供了由行为到思维的准备。

3.反思问题解决的关键。

当三张纸条全部反馈完成后，教师引导学生看屏幕上的三张纸条，再看看自己手中的这三张纸条，思考以下几个问题。

师：刚才大家都对这些纸条做了一些比较重要的事儿，这样就能用分数表示出图中的涂色部分了。想一想，你们都做了哪些重要的事儿？

在学生静静思考和表达后，教师继续提问。

师：为什么你们认为平均分最重要？

生1：分数的分母表示把一个东西平均分成几份。如果不平均分的话，就不能表示出这个分数了。

生2：分数就是要把一个整体平均分成几份，然后取其中的几份。

生3：只有平均分每份才会同样多。只有每份同样多了，我们才知道总数有这样的几份，涂色部分有这样的几份，最终才能够用分数把它表示出来。

设计意图：该环节的设计有以下的想法：一是想让学生经历问题解决的全过程；二是想通过反思，使学生意识到平均分是一种手段，更本质的是准确地表达出图中部分与整体的结构，进一步感受到部分、整体、分数三者间的关系。

三、进一步认识、理解部分与整体的关系

1.发现和提出问题。

在对每张纸条研究后，教师进一步引导学生发现和提出问题。

师：观察这几个分数，再看看这几幅图（如图9），你有什么发现？

图9

生1：为什么第1 幅图和第2 幅图阴影部分是一样长的，表示的分数却不一样？

生2：第3 幅图和第2 幅图，它们的阴影部分是不一样的，但是表示的分数为何是一样的？

生3：为什么黑板上这些纸条都有两种表达形式？

生4：分数可以简化吗？

生5：分数为什么会变来变去？

……

设计意图：教师鼓励学生自己发现和提出问题，有助于教师看到不同学生的思维，发展其创造性思维和创新意识。

2.分析和解决问题。

学生提出的问题集中在两类：一类是与分数基本性质相关的问题，一类是分数表示数量多少的相对性问题。由于第一类问题在后续教学中会重点涉及，因此，教师只把这类问题展示在黑板上，暂时不探讨。本节课重点研究第二类问题。

（1）研究问题1：第2幅图和第3幅图中的涂色部分不同，表示的分数为什么相同？（小组讨论、汇报）

组2：（借助纸条进行直观解释）都平均分成4份，取其中的1份，所以都能用表示。

师：你们同意他们的想法吗？

组4：（不同意整体一样分数就一样的观点）如果整体一样这个分数就一样的话，我们可以一个取其中的1 份，一个取其中的2份，这两个分数就是不一样的。

组5：（既关注整体也关注部分）整体一样，还要取的份数也一样，这样分数才是一样的。虽说这两幅图不同，但是我们可以把这两幅图的面积改成一样的，这样它们两个阴影部分所占的面积也是一样的。

组6：（与图的样子无关）我们觉得只要是把一个整体平均分成4 份，不管这个整体长什么样，其中的1 份都是。

组7：（跟图无关，跟部分与整体的关系有关）我们觉得跟图无关，跟阴影部分占整个的多少有关。

设计意图：问题是思维的起点，问题解决的过程是创造性思维逐渐形成的过程。在小组讨论和全班交流中，学生的思维得到碰撞，在倾听、合作、反思、质疑自我中，学生不断进行改造，促进自我认知的发展。

（2）研究问题2：第1幅图和第2幅图中的涂色部分一样，表示的分数却不一样，这是为什么？

组1：（整体不一样、分的份数不一样、分数就不一样）整体不一样大，两幅图不能够都正好平均分成4 份，所以分数不一样。

组2：（整体不一样，在每份同样大时，取的份数一样，分数也会不一样）长的纸条也可以折一下，这样两张纸条的涂色部分也是一样的。取的份数相同，但整体不一样，分数也就不一样。

组3：（部分与整体的关系不同，分数就会不同）阴影部分和整体的关系是不一样的，所以表示的分数就是不一样的。

设计意图：引导学生从另一个角度理解分数的意义，帮助学生认识部分、整体、分数三者相互依存的关系，其中任意一个发生变化，就会引起另外两个的变化，这种对关系的理解是对数学思想的渗透。

点评

“分数的再认识（一）”这节课，探究了许多教师面临的困惑：如何创设出好的数学情境？怎样引导学生提出问题，并通过探索问题发现数学知识的本质？如何收集学生作品并对作品进行合理筛选？上面给出的教材分析、教学过程及教学反思很好地阐释了邵老师的思考。

这节课具有以下三个亮点。

首先，邵老师在上课前充分研究了分数的本质、作用，从单位“1”、份数和分数这三个角度认识了分数的内涵，理解了从份数、分数角度描述“部分量与整体量的关系”。基于此，邵老师创设了相应的情境（用分数表示三张纸条中的涂色部分），为后面学生理解“分数可以表示整体与部分的关系”这一知识创设了很好的生长点。

其次，教师充分发挥了学生的主动性，让学生真正成为课堂的主人。邵老师一开始鼓励学生提出问题，引导学生观察三张纸条的不同之处，鼓励学生用语言陈述自己的做法与思考过程，学生采用不同的方法，如测量、折、画格子、画格子+移格子等方法，最终成功地用分数表示出了涂色部分，这个活动是从表象到形式化的一个桥梁。在小组内进行讨论，不同学生的思维得到碰撞，学生逐步意识到平均分只是一种手段，深刻感受到了部分、整体、分数三者间的关系。

最后，邵老师擅于找关键点。在学生动手操作过程中，邵老师一边观察学生作品，一边思考如何将不同的作品进行归类，给不同层次的学生呈现相应作品的机会。如有些学生就图说图，而有些学生能够脱离图找出问题的本质，邵老师抓住学生理解的不同层次，一步步展开学生的思维过程，引导全体学生从表象的理解走向关系和性质的理解。