美国数学教育改革的十大误区（下）

◇蔡金法 聂必凯

（上接2018年第11期第8页）

误区六：现代教育技术在数学教学中的使用，标志着数学教育改革的一个方向

（一）背景。

持这一观点的人认为，计算器和计算机的使用能强化学生的数感、促进概念的发展和直观化，从而能促进师生参与更丰富的问题解决活动。反对者的依据是：在第三次国际数学与科学评测（TIMSS，1995）中，几乎所有测试成绩位于前列的国家，在6年级之前的数学教学中都不使用计算器。一个关于计算器使用的研究（Wilson, 2008）表明，在约翰·霍普金斯大学正在学习微积分的学生中，那些从低年级就开始使用计算器的学生在微积分的学习中表现较差。

然而，TIMSS（1999）的 8年级数学课堂录像课研究表明，美国的数学课堂上使用计算器的频率并不比荷兰高，而且与其他一些测试成绩较高的国家没有显著的区别(Mathews,2005)。计算器在数学课堂上的合理使用也不会限制学生数学技能的培养。NCTM 对教育技术在数学教学中的使用是非常肯定的，在《学校数学教育的原则和标准》中，特别设置了一个“科技原则”。这一原则认为，现代科技不仅有助于提高学生的学习效率，而且有助于有效的数学教学，甚至影响到数学课程的合理设置和组织。简言之，现代教育技术对数学的教、学及课程的设置有非常积极的影响。值得一提的是，NCTM 的课程标准并没有一边倒地强调现代技术的作用。

（二）评析。

1．不能为现代教育技术在数学教学中的使用贴上改革的标签，以计算器和计算机为代表的现代教育技术应作为数学教与学的一种辅助手段。

现代教育技术引入数学课堂是顺应社会发展的事情，是无可厚非的。实际上，数学教育也离不开现代教育技术，数学教育应顺应时代发展的需求。计算器可以把学生从复杂的计算中解放出来；图形计算器能迅速画出函数的图像，能进行绝大多数的统计处理；几何画板和Excel 等更有强大的作图、计算、研究各种函数的性质等功能。需要注意的是，当今的数学教育中现代教育技术使用的程度或水平是参差不齐的。如果现代教育技术仅仅是黑板或纸-笔计算的替代品，或者是学生思维或理解过程的替代品，那么这样的现代教育技术就不能被贴上数学教育改革的标签，因为它并没有成为促进数学有效教学或学习的工具。

2．计算器（机）不能取代基本计算技能训练，计算器（机）是技术而不是数学。

当学生学会利用计算器（机）获得正确的结果时，很容易造成一种学生已理解相关数学知识的错觉。简单利用某些软件几乎能得到任何想要的结果，如图形计算器就有很强的统计功能，只要学生输入一组数据，它就可以画出所有的统计图形，给出所有描述性的统计结果。但学生会操作计算器并不意味着会亲手制作统计图表、计算统计结果，而亲手制作统计图表、计算统计结果等有助于理解图表和统计量的意义。

计算器（机）是技术而不是数学。尽管计算器能快速、准确地算出有关整数运算的结果，但做有关分数的运算时，绝大多数计算器只能先把分数化为小数，用近似的小数运算代替分数运算，这就省略了异分母分数加减时的通分和约分过程，所以运用计算器无法达到训练学生通分和约分的技能。类似问题在无理数运算中也会出现。因此，很多时候只能以纸-笔的形式才能有效地进行基本计算技能的训练。

误区七：数学概念置于一定的情境时，才能被学生更好地理解和掌握，且蕴含于情境中的数学概念会自动被学生理解

（一）背景。

在反思学校教育时，人们自然地想到了那些发生在民间作坊里的师徒训练模式。数学学习情境可以分为两类：现实世界的情境，虚拟现实的情境。美国传统和改革型数学教材中，都有一些直接来自历史文献记录的问题情境。例如，某一传统数学教材（Bailey 等, 2006b）中，“不等式”一节的一个现实情境是：在俄亥俄州，你至少16岁才有可能获得驾驶执照，用不等式表示俄亥俄州所有驾驶员的年龄。类似这样的问题在教材里并不少见，但必须注意到，这些问题只是某些数学内容的应用。当人们看到那些发生在校外的、蕴含于实践中的学习活动有时也很有效时，就想把它们迁移到数学课堂中来。发生在校外的学习活动显然是以现实世界为背景的，那么数学概念的学习和理解是否同样能以现实世界为背景呢？

为什么要关注学校之外的那些学习活动的特征呢？有研究者（如Resnick，1987）曾经考察了一些致力于培养思维技能、学习技能和高水平认知能力的研究项目，那些成功的项目具有以下三个特征：第一，具有校外认知活动的特点，即需要社会性协作完成任务；第二，包含一些师徒式训练的主要成分；第三，对学科知识进行组织和处理，以有助于学生对意义的建构和理解。“情境化”是校外学习一个非常重要的特征。学校数学的一个倾向是“符号化”，这种学习，往往导致数学与现实生活情境的脱离，学生在日常生活中形成的一些非正式的数学知识也不会得到鼓励。因此，能否将“情境化”的学习方式带入数学学习，成为数学教育工作者不得不思考的问题。

（二）评析。

1．情境能帮助学生理解抽象的数学概念。

对大部分学生而言，理解抽象的数学概念并非易事。许多研究者认为，代数概念的学习应根植于学生熟悉的生活情境。也有人认为，代数学习没有必要使用现实情境，因为代数从本质上说是处理非现实的数量关系，而且代数的核心是对数学结构和关系的理解。代数就是有关运算和结构的抽象性质，学习代数的目的应该是学习这些抽象的结构本身，而不是学习如何将这些结构用于描述现实世界。然而，适当的情境能帮助学生更好地理解某些数学概念。比如，对变量的理解，一些教科书往往通过代数式或方程将变量与一个字母对应起来，这样只能让学生形成变量即字母的静态印象，而不是“变化”的动态印象。在数学教材《关联的数学》（Lappan 等，2006a）中，通过现实情境，即时间变化与自动售卖机出售的饮料的件数之间的关联，帮助学生理解变量这一动态的概念。

2．蕴含于情境中的数学概念并不能自动被理解。

现实情境有助于学生的数学理解。现实世界中，数学无处不在，但对于同样的现实情境，为什么有的人能“看到”数学的存在，而有的人却不能呢？例如，美国学生几乎每天都会接触到自动售卖机，但可以肯定的是，许多人在使用过程中不会将它与数学中的变量概念联系起来。因此，现实情境显然要经过一定的“加工提纯”的教学设计，才能让学生体验到其中的“数学味”，才能让学生尽快关注其中所蕴含的数学内容，从而在数学概念与情境合理结合的基础上理解数学概念。容易走到另一极端的是，为了形成情境与数学概念的结合，一些教材可能人为编制一些问题情境，这样可能会丧失情境的可信性，从而削弱其促进概念理解的功用。

总之，现实情境能帮助学生理解抽象的数学概念，但现实情境不一定能自动导致学生理解数学概念，在一定程度上，需要教材或教师基于教学设计进行提炼和引导。

基于情境的数学问题提出和问题解决在中国以贵州师范大学为代表的一些机构已经有了很多实践探索和理论研究，我们希望这些实践或理论的探讨为数学情境如何促进学生理解和掌握数学概念提供更多的帮助。目前蔡金法正在与西南大学的宋乃庆、张辉蓉、陈婷及北京的张丹等合作进行基于情境的数学问题提出的实验研究，我们也期待有新的发现。

误区八：直观表征能自动发展到概括或抽象的水平

（一）背景。

美国的数学课堂上总是堆放着各式各样的教学模型或用具，许多数学教材中也充满各式各样色彩斑斓的图示或图片。例如，在数学教材《情境中的数学》（Mathematics in Context）中，一节课的标题就是“一幅图抵得上千句话”（Wijers等，2006）。在美国的数学教材中，使用直观表征是很常见的。例如，使用切比萨饼表示分数，使用空杯子表示未知数，使用小棒表示较小的整数，使用代数块表示完全平方公式等整式的运算性质，一些学具甚至被用于解释多项式乘法(a+b)(m+n)的意义。操作这些学具的步骤有时不是很简单、明了，可能比较烦琐。教材中使用这些教具、学具、图示或图片的意图是帮助学生理解数学概念，但真能如愿以偿吗？

在数学学习中，能够让学生获得真实体验的表现方式应首推现实世界的情境和操作模型，它们是学生看得见的、摸得着的，是有效学习非常重要的两种表征形式，图片或图示也有类似的作用，我们称其为直观表征。上面讨论了现实情境的作用，下面我们来讨论操作模型和图示表征的作用。

有研究者认为，具体表征能帮助学生建立数学概念和程序的各类表征之间的关联。然而，也有一些研究者（如 Baroody，1989；Ross,1986)认为，对操作模型等直观表征的简单使用并不能保证有意义的学习和理解的发生，因为这些学具或教具不一定适合于学生个体已有的经验和知识。还有研究者（如Peck&Jencks, 1987）认为，图示表征是具体表征和抽象表征之间的“桥梁”。然而，蔡金法（2007）的研究认为，尽管直观表征在一定程度上有助于学生的数学理解，但数学学习最后必须上升到抽象的符号水平，而且这一上升的过程不会自动发生。

（二）评析。

1．从具体表征到概括或抽象必须跨越一个“沟”。

有研究者认为，图示或操作模型等直观表征是连接“沟”的桥梁，但也有人认为这一说法的证据不充分。无论如何，数学学习或理解最终都要上升到符号表征，但在符号表征之前，对于哪些形式的表征是至关重要的，以及如何安排这些表征的顺序，我们没有充分的证据（Beishuizen,1985;Post,1988;Resnick&Ford,1981）。蔡金法（2007）关于表征形式与问题解决表现之间关系的研究表明，除美国学生在计算题和复杂问题解决上与直观表征成弱相关外，直观表征与数学问题解决成绩之间的相关性非常弱，而符号表征与问题解决成绩之间的相关性比直观表征强得多。总之，没有证据表明图示表征与数学成绩成正相关，更没有证据表明图示表征与数学理解成强相关。

2．教师要“推”学生一把以跨越这个“沟”。

直观教具仅是一种教学辅助工具，它们只是帮助学生理解抽象的数学内容，并不能直接产生学生的数学理解，而具体表征最后必须上升到抽象才是数学，仅停留在具体表征阶段永远只是操作。要真正理解所学的内容，在很多情形下，需要在教师的引导下，让学生明确具体与抽象之间的关系，让学生认识到数学内容是具体模型的抽象，这是认知的一种飞跃。只有通过思考才能认识到事物抽象的本质。在思考的过程中，学生可能遇到各种各样的问题或困难，这就需要教师的帮助，以使学生顺利完成从具体到抽象的认知过程。另一方面，数学的具体和抽象具有相对性。有些内容对小学生而言是抽象的，对中学生来说也许是具体的；对一般人来说是抽象的、难以理解的，对数学家来说可能是具体的、容易理解的。因此，抽象思维具有层次性。教师的一个很重要的作用是促进学生的思维从具体向抽象、从低层次抽象向高层次抽象发展。

具体、直观的表征有利于促进学生的思维从具体向抽象发展，但过多使用，则有可能妨碍学生对数学内容的深层次理解，进而妨碍学生思维的发展，使学生对数学内容的理解及数学思维都停留在低层次的水平上，这些对中国的数学教育应该具有警示作用。

误区九：“大众数学”与“精英教育”是不可调和的两个对立面

（一）背景。

回顾数学教育的历史，长期以来，有以下观点：数学是为少数有“数学天分”的人设置的科目，数学教育是为了培养未来的数学家而设计的。纵观美国数学教育改革，其中一个改革的重点是所谓的“精英教育”。美国是唯一一个针对“英才教育”立法的国家。“大众数学”（Mathematics for all）肇始于 20 世纪 80年代初，之后 NCTM在开发《学校数学课程和评估标准》时，倡导将“大众数学”作为教育改革的核心理念之一。数学教育到底应该是“精英教育”还是“大众教育”，一直是许多关心数学教育的人士讨论的话题，也是数学教育中机会均等和多元化的问题。对大多数学生来说，数学只是为完成基础教育所必须学习的一个科目，能达成最基本的目标就可以了。在美国，经济条件较差家庭的学生，英语为非母语的学生，有残疾的学生，女学生，少数族裔家庭的学生，很多人都在数学学习中被给予很低的期望。他们经常被安排在所谓的“需要补习”的班级里。在这样的环境里，学生学习数学的动力被遏制，为他们设置的数学课程也多是低水平数学知识的简单、机械训练。在过去的二十年中，针对提高这个学生群体数学学习质量的改革一直在进行，然而这个问题至今依然存在。

（二）评析。

NCTM 在这个问题上明确阐明了自己的观点：高质量的数学教育要求对所有的学生都要有高要求并提供有力的支持。NCTM 特别强调了“所有的学生”。在1989年和2000年出版的课程标准里，学生在数学学习中获得均等的机会都被作为一个原则写了进去。所有的学生，无论他们来自何种家庭，有着何种经济和社会背景，都必须能得到同样的机会和支持来学习数学，但这并不是说以同样的方式对待所有学生。我们需要根据学生的具体情况，为他们提供连贯的、有挑战性的课程，而且这样的课程必须由能胜任的数学教师教授。

对于那些家庭经济条件较差的学生，英语为非母语的学生，有残疾的学生，女学生，少数族裔家庭的学生，支持和改进他们的数学学习，仅仅靠出色的数学课程是不够的。对那些学习数学有困难的学生，必须为他们提供更多的学习资源和帮助，如课后的辅导、同伴的帮助及多媒体资源的使用等。数学学习中有特殊需要的学生还应得到教师和从事特殊教育的人士的帮助。对于那些对数学学习有特别的兴趣、具有超出一般水平的数学能力的学生，则要给他们提供更具挑战性的课程和更多的资源，以巩固他们的学习兴趣，并使他们有更多的机会提升自己的数学能力。通过这样的帮助，使“精英”和“大众”得以兼顾。

传统意义上的平等通常关系到人们的社会、经济地位和获取资源的能力，而讨论数学学习中的机会均等或平等，则远远超出了这个词语的传统含义。同时，需要我们回答的一个重要问题是：为什么要让所有的孩子学习数学？

有针对性地为不同的学生设计不同的学习内容，并使每个学生都能得到更多的数学学习机会，并不是一件简单的事情。怎样才能达到这一目标呢？ 很多人寄希望于“基于标准的课程”。在一些已经开发出的课程中也有许多不同尝试。对其效果的评估也在进行，但尚未得到为大众广泛接受的结论。同时，有很多人表示了忧虑：过分强调数学学习中的机会均等，或者说让所有的学生都达到同样的数学学习目标，会导致数学教学质量的下降；过多关注需要帮助的学生，会忽略那些真正能在数学领域里有所作为的学生。这样的考虑势必会影响数学课程的开发。

必须指出，在美国，各州的教师水平、教育资源的分配和教育改革的开展差异并不是很大。因此，在为学生提供合适的数学课程和教学资源方面并没有太大的区别。

然而在中国，教育资源分配不平衡是一个非常普遍的问题，由此导致学生在接受数学教育方面产生种种问题。因此，在考虑数学教育改革时，教育资源的分配是一个不可回避的问题。学生教育机会均等问题是一个影响整个民族素质的问题。它的影响至深至远，我们必须给予充分重视。

误区十：在数学教育改革理念与执行之间存在难以逾越的鸿沟

（一）背景。

美国数学州际共同核心标准与之前NCTM的课程标准一样，指明了K-12年级学生期望学到的数学的方向。尽管州际共同核心标准已在全美绝大多数州或地区实施，但是，州际共同核心标准在如何组织或编写数学课程材料 （如教科书）方面并没有明确的规定，更没有指定应使用什么样的教科书，才能使得学生的数学学习与数学州际共同核心标准一致。在NCTM 颁布其数学课程标准后，美国政府机构如NSF 曾资助一些研究或出版机构近9000 万美元用于基于NCTM 标准的数学课程的开发，而针对州际共同核心标准，目前没有类似的专项基金资助用于数学课程的开发。既然全美那么多的州或地区都采用了州际共同核心标准，而标准理念的实施需要具体的课程材料来体现，那么，基于该标准的数学课程的设计、开发和实施又是怎样的呢？

当某一课程理念成为主导或受欢迎的时候，几乎所有的课程开发者都会声称自己的课程设计符合这一理念。典型的例子是，当NCTM 的系列课程标准特别是2000年的学校数学课程标准出版后，无论是NSF 资助的改革型课程，还是被公认为“传统”的课程都声称自己的课程设计理念与NCTM 的标准是一致的。但事实究竟是怎样的？ 那些声称基于标准的改革型课程与所谓“传统”的课程到底有怎样的不同？改革的理念以课程作为载体和中介又是如何在数学课堂中执行的呢？改革理念很重要，而在实践中实施更重要。

（二）评析。

我们认为，在数学教育改革的理念与执行之间存在一定的距离，但并非难以逾越的鸿沟。如何正确执行课程改革的理念，是改革成败的关键。

课程执行本身是一个很复杂的过程，而对课程执行程度的考评更是一个复杂且困难的过程，因为有太多的因素影响课程的执行。即使是在使用同样课程的两个数学课堂里，对课程的执行也可能非常不同，从而学生可能获得不同的学习机会和学习结果。

尽管绝大多数在美国出版的数学课程材料都声称自己是基于课程标准的，但我们认为，与课程材料同样重要的事情还包括“如何教”，决定课程有效性最重要的因素是教学部分，而不是课程材料本身。教师对改革理念的理解是至关重要的，因此，教师对改革理念的学习及针对教师的培训是必不可少的。如果这些环节真正做到位，那么在改革的理念与实际执行之间没有不可逾越的鸿沟。

数学教育与其他学科教育一样，是一个实践性很强的学科。尽管可以有许多不同的教育理念和课程理论，但最终这些理念与理论还是要落实到实际课堂中，接受实践的检验。理论不管如何先进，只有为一线教育工作者所接受并实施，才能够实现其价值，才能够转化为生产力。

目前，中国国内针对数学学科核心素养的讨论很热烈。热烈讨论、认真学习固然很好，但是如何具体落实到课堂中才是关键中的关键、核心中的核心！