船舶二维测距定位中的GDOP分析

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(重庆交通大学 航运与船舶工程学院，重庆 400074)

定位系统GDOP的研究一般分为定位系统的GDOP研究和GNSS(global navigation satellite system)定位系统的GDOP研究。前者主要研究定位系统中GDOP随几何位置关系的变化情况[1-2]，定位区域内GDOP的最小值出现的位置[3-4]；后者主要研究导航系统定位过程中，GDOP的计算方法和定位结果精度的评估方法[5-7]。如文献[8]指出在GPS定位中，若用户采用4颗卫星定位，则GDOP值与用户到4个卫星的单位向量所构成的四面体的体积成反比。从研究内容的不同，可以将研究内容分成以下两类；一类是研究定位系统中GDOP的计算方法，如文献[9-10]给出了不同定位系统中，GDOP的计算方法；另一类是研究定位系统中如何优化锚点的布置，以降低定位系统的GDOP值，如文献[11-13]以GDOP值的大小为依据，对GNSS系统中不同星座内的卫星选择问题进行了研究。从上述分析不难看出，现有的研究只是对GDOP的计算方法及锚点的优化布置问题进行了研究，但是没有指出GDOP所反映的直观物理意义，这对于定位系统中锚点的布置和选择是不利的。因此，拟对二维测距定位系统中的GDOP计算方法，以及与GDOP值相关联的直观物理意义进行分析，以加深对GDOP的理解，为测距定位系统中锚点的布置提供理论依据。

1 几何精度因子GDOP

假设测距定位系统中锚点的个数为N，且每个锚点Ai坐标分别为(xi,yi)(i=1,2，…，N)，未知点U的坐标为(x,y)，未知点到第i个锚点Ai的单位向量为ei(hi，ki)，r表示坐标原点到未知点的向量，ri表示坐标原点到第i个锚点Ai的向量，rui表示未知点到第i个锚点Ai的向量。锚点和未知点的关系见图1[6]。由此得式(1)。

(1)

化简可得等式(3)。

kix+hiy=kixi+hiyi-|rui|

(2)

将式(3)改写成矩阵形式

(3)

式中：Ci=[ki,hi]

(4)

Si=[xi,yi]T

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

则式(4)可转化成下式。

BX=CS-RU

(11)

求解方程组的最小二乘解得到：

X=(BTB)-1BT(CS-RU)

(12)

则有X的协方差矩阵CovX如(13)所示。

CovX=(BTB)-1BTCov(CS-RU)[(BTB)-1BT]T

(13)

假设距离|ru1|、|ru2|，…，|ruN|的测量值相互独立，且各距离测量的均方差为δ2，则有下式成立，其中E表示数学期望。

Cov(CS-RU)=E{[(CS-RU)-E(CS-RU)]

·[(CS-RU)-E(CS-RU)]T}=

E{[RU-E(RU)][RU-E(RU)]T}=Iδ2

(14)

将式(14)代入式(13)有式(15)成立。

CovX=(BTB)-1BT[(BTB)-1BT]Tδ2=

(BTB)-1BT{B[(BTB)-1]T}δ2=

[(BTB)-1]Tδ2=(BTB)-1δ2

(15)

(16)

(17)

由式(18)可知，当定位系统中锚点的数量一定时，GDOP只由ki和hi决定，即GDOP只受未知点到已知点的方向影响，与伪距测量误差无关。

(18)

2 几何精度因子GDOP分析

未知点到锚点的各单位向量见图3。各向量的长度均为1。任何两个单位向量的终点Fi、Fj以及未知点U勾勒的三角形的面积如式(19)所示。

(19)

由式(19)可得

(20)

将式(20)代入式(18)得

(21)

例如，当N=3时，有式(22)成立，各三角形的关系见图4。

(22)

当N=4时，有式(23)成立，各三角形的关系见图5。

(23)

3 N=4时GDOP值分析

通过前面的分析可以知道，当锚点的数量N一定时，定位结果的几何精度因子GDOP的平方与所有未知点到锚点的单位向量所构成的三角形面积的平方和成反比。

假设该定位系统中有4个锚点，它们的坐标分别是A1(100,100)、A2(0,100)、A3(0,0)和A4(100,0)，各点的位置关系见图6。

图6显示的是由这4个点所构成的正方形的内部GDOP值的平方的分布情况。由图6可见，正方形的中心GDOP值最小，因此越靠近中心，定位精度越高；沿着正方形的对角线方向，GDOP值增加较快，且在锚点处达到最大值，在平行于边的对称轴方向GDOP值变化缓慢。

所有从未知点到各锚点的单位向量所构成的三角形面积的平方和在4个锚点所构成的正方形内的分布见图7。

从图7可以看出，面积的平方和在正方形的中心达到最大值；沿正方形对角线的方向面积的平方和变化较快，在正方形的中心面积的平方和最大，且在锚点处面积的平方和最小，沿着平行与边的对称轴方向面积的平方和变化缓慢。图6、7表明，在正方形内部GDOP的平方与单位向量所构成的三角形面积的平方和的变化趋势相反。

4 结论

在二维测距定位系统中，假设未知点到各个锚点距离测量误差大小相同且锚点的数量一定，各未知点的GDOP值仅与未知点到各锚点的单位向量相关，位置点到锚点的距离无关，且GDOP值的平方与从未知点到锚点的单位向量构成的所有三角形面积的平方和成反比。

根据上述结论，在二维测距定位系统布置锚点应遵循以下原则：所有锚点应尽可能均匀地分布在未知点或待定位区域的周围，以保证较小的几何误差。

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