用几何图形的性质巧解圆锥曲线的离心率

陕西省商洛中学 杨小勇

圆锥曲线的离心率是历年高考的热点，求离心率的难点在于如何建立a，b，c 之间的等式，而复杂的代数计算不但费时，而且错误率高。早在必修2第二章《解析几何初步》开篇就指出，解析几何是利用代数方法来研究几何图形的性质的一门学科。所以，如果我们能更好地利用几何图形的性质，建立关系，将对解决离心率问题起到事半功倍的辅助作用。

一、巧用几何图形确定点的坐标，求解离心率

例1 （2015·新课标全国Ⅱ，11）已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）

解析：设双曲线为如图，过M做MN⊥X轴于N，在Rt△MNB中，∠MBN=60°，则M点坐标为（2a，在双曲线上，代入有则a=b，为等轴双曲线，所以离心率e= ，故选D。

二、巧用几何图形建立方程，求离心率

例2 （2017新课标全国II，理15）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。

解析：如图所示，作AP⊥MN，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线上的点，设渐近线的倾斜角为α，则在Rt△APO中，

例3 （2017课标III，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）

解析：设OE的中点为N，则有△AFM∽△AOE，△BON∽△BFM，所以由OE=2ON

总之，解析几何中圆锥曲线的离心率问题，我们利用纯代数的计算来研究，不但计算麻烦，更易出错。用华罗庚教授的话来讲：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”

[1]赵婷.“圆锥曲线与方程”单元教学设计研究[D].天水师范学院，2017.

[2]张海峰，赵滨.数形结合巧解双曲线的离心率两法[J].新课程导学，2016（14）：5.

[3]王草野.圆锥曲线学习中存在的问题及对策研究[D].苏州大学，2014.

[4]侯德运.探究离心率的求解策略[J].数学学习与研究，2013（09）：77.

[5]蒋明权.离心率求法“十注意”[J].第二课堂（高中），2010（07）：51-57.