矿井MIMO-OFDM通信系统信道的建模与仿真

刘赛男，李 晖，张 蕊(沈阳工业大学 信息科学与工程学院，辽宁 沈阳 110870)

与地面无线通信环境不同，矿井巷道是空间受限的非自由传播空间，电磁波传播特性非常复杂，容易产生严重的多径衰落[1]。多径衰落会影响信号的传输特性，造成符号间干扰(Inter-Symbol Interference ,ISI)，降低无线通信系统的可靠性[2-4]。多输入多输出-正交频分复用(Multiple Input Multiple Output-Orthogonal Frequency Division Multiplexing，MIMO-OFDM)技术将MIMO技术与OFDM技术相结合，不但可以消除ISI，而且可以在不增加额外带宽和发射功率的情况下提高无线信道的容量[5]。

为将MIMO-OFDM技术更加实际地应用到矿井无线通信中，必须详细了解矿井信道的传输特性，建立一个合适的矿井通信信道模型。在实际的矿井环境中，巷道内空间有限，受天线摆放位置、天线间距、信号到达方向和角度扩展等因素的影响，MIMO信道之间会产生很强的空间相关性[6-8]。因此，准确地对矿井信道进行建模，对矿井无线通信的发展具有非常重要的意义[9-11]。

目前，对矿井MIMO信道建模的研究已经取得了一系列成果。文献[12]基于电磁波在矿井巷道内的传播特性，利用射线追踪法，通过计算多径信道中从发射机到接收机之间每一条路径的传输距离、到达角度(Angle of Arrival，AOA)、时间延迟等参数来分析矿井信道特征，建立了关于MIMO信道的射线模型。然而，射线跟踪模型需要进行大量的数据计算，比较复杂。文献[13]建立了一种MIMO信道三维(Geometrically Based Single-Bounce，GBSB)模型，推导了该模型的信道容量函数，并对不同天线数目的MIMO通信系统进行了仿真。文献[14]提出了一种随机独立的MIMO信道模型，然后根据矿井巷道的富散射环境对该信道进行修正，建立了两种空间相关的MIMO信道模型，并对不同信道模型的系统性能进行了仿真比较。以上所提出的MIMO信道模型中，多径信号衰落均服从Rayleigh分布，并不能准确反映矿井巷道内多径信号的衰落特性。在不同的矿井巷道环境中，多径信号衰落服从不同的分布[15]。

根据井下多径信号衰落特性的可变性，本文提出一种基于Nakagami衰落的MIMO空间相关信道模型。Nakagami分布可以通过改变衰落指数m变成不同的分布，更准确地描述了矿井内的信号衰落特性。基于Nakagami衰落的MIMO空间相关信道模型更适合矿井MIMO-OFDM无线通信系统。

1 MIMO信道建模

根据文献[16]阐述的MIMO相关信道建模的方法，MIMO空间相关信道可以在MIMO非相关信道的基础上，通过计算多天线之间的空间相关性得到。

1.1 生成MIMO非相关信道

假设一个具有NT根发射天线和NR根接收天线的MIMO-OFDM通信系统如图1。

图1 MIMO-OFDM通信系统模型

在多径衰落信道下，离散时间MIMO非相关衰落信道的脉冲响应可以表示为[3]

(1)

式中：L为可分辨的信道多径数；τl为第l条路径的时延。Al为第l条路径的复信道增益矩阵，表示为

(2)

1.2 MIMO信道空间相关性的计算

假设该MIMO-OFDM系统收发两端天线均采用均匀线性阵列(Uniform Linear Array，ULA)，并且以距离d等间隔排列，如图2。以系统的下行链路为例，发射端(基站)有NT根发射天线，发射信号的平均发射角度(Angle of Departure，AOD)为φt0，角度扩展(Azimuth Spread，AS)为Δφt；接收端(移动台)有NR根接收天线，接收信号的AOA为φr0，AS为Δφr。

图2 收发端天线排列方式示意图

对于接收天线阵列，它们接收到来自不同发射天线的每一条路径的信号，这些接收信号之间的空间相关性取决于路径传播的距离差。有两根全向天线单元m和n，距离为(m-n)d，假定到达波为平面波，AOA为φr，如图3。则它们之间的传输距离差为(m-n)dsin(φr)，由传输距离差造成的传播附加时延为

(3)

式中，c是电磁波传播速度。

接收信号上的附加相移可表示为

(4)

式中，λ为载波波长。

图3 接收天线信号模型

接收天线m和n收到的归一化信号可表示为sm和sn，且满足sn=smexp(-jφ)=smexp[-jzsin(φr)]。z=2π(m-n)d/λ，表示归一化的天线距离。

令p(φr)表示AOA的功率方位谱(Power Azimuth Spread，PAS)，接收信号的角度扩展为Δφr，则两天线单元间的空间相关性可以表示为

sin(φr)]p(φr)dφr。

(5)

式中，(·)*表示复数的共轭。

在接收端，到达信号在2Δφr内一般服从均匀分布，其PAS为

(6)

将式(6)带入式(5)中，可得出两接收天线的空间相关系数

(7)

因此，接收天线m、n之间的空间相关系数为：

(8)

接收端天线的空间相关矩阵可表示为：

(9)

同理，发射端天线的空间相关性也可按此方法计算。对于距离为(a-b)d的两根全向发射天线单元a和b，其空间相关性表示为

sin(φt)]p(φt)dφt。

(10)

式中：φt为AOD；P(φt)为AOD的PAS；发射信号的角度扩展为Δφt。

对于发射端，可认为发射信号在2Δφr内服从Laplacian分布，其PAS为

(11)

将式(11)带入式(10)中，可得出两发射天线的空间相关系数

(12)

因此，发射天线a、b之间的空间相关系数

(13)

发射端天线的空间相关矩阵可表示为

(14)

1.3 生成MIMO相关信道

由于收发天线之间的距离远大于天线单元间距，故可认为接收天线的相关性与发射天线无关，同时发射天线的相关性与接收天线无关[5]。因此MIMO信道的空间相关矩阵R可由发射端天线的空间相关矩阵RT与接收端天线的空间相关矩阵RR做Kronecker积后再进行Cholesky分解，得到[11]：

Γ=RT⊗RR=RRT。

(15)

式中：(·)T表示矩阵的转置；⊗为Kronecker积。

因此，MIMO相关信道响应H可以由MIMO非相关信道响应H0和空间相关矩阵R相乘得出：

vec(H)=R×vec(H0) 。

(16)

式中，vec(·)表示把一个矩阵的所有列依次排列构成一列。

2 矿井MIMO信道建模及容量分析

2.1 生成基于Nakagami分布的矿井MIMO非相关信道

将图1所示的具有NT根发射天线和NR根接收天线的MIMO-OFDM系统置于矿井巷道中。由公式(1)、(2)可知，矿井中MIMO非相关信道的冲激响应

(17)

式中，hij是第i(1≤i≤NT)条发射天线到第j(1≤j≤NR)条接收天线的信道冲激响应：

(18)

由于矿井环境复杂，电磁波的传播经过散射、反射和绕射后到达接收端，各个信号的传播路径和传播时间不同，即到达接收机的时间、幅度和相位也各不相同，信号之间的相互作用造成了瞬时接收信号幅度和相位的随机波动，即多径衰落[4]。矿井巷道一般可分为长直巷道和弯曲巷道。当收发天线均位于长直巷道中时，多径信号衰落近似服从Rician分布；当收发天线分别位于主巷道与支巷道(即弯曲巷道)中时，多径信号衰落近似服从Rayleigh分布。

(19)

Ωl=Ω0exp(-τl/Γ)。

(20)

式中：Ω0为直射路径的平均功率；Γ是功率衰减因子，与巷道截面、载波频率以及收发天线之间的距离等条件有关。

多径信号通常以可分辨多径簇的形式，经历不同的时延到达接收端，每一簇的到达时间都服从泊松分布。将多径时延rl的到达过程用泊松过程来描述。则泊松分布满足

(21)

式中：M表示泊松过程中固定时间间隔内多径簇出现的次数；λ为泊松参数，表示泊松过程的速率或强度。根据泊松分布的定义，第(l-1)条与第l条多径簇到达时间之间的间隔服从指数分布：

p(τl|τl-1)=λexp[-λ(τl-τl-1)]。

(22)

2.2 生成矿井MIMO相关信道

在矿井中，系统收发天线的空间相关性计算与地面上略有不同。在接收端，到达信号在2Δφr内服从Gaussian分布，其PAS可表示为

-Δφr+φr0≤φr≤Δφr+φr0。

(23)

将式(23)代入式(7)中，可得两接收天线的空间相关系数为

(24)

再由式(8)、(9)可计算出矿井内接收端天线的空间相关系数及空间相关矩阵。

在发射端，发射信号在2Δφt内仍服从Laplacian分布。根据式(10)～(14)，可计算出矿井内发射端天线的空间相关系数及空间相关矩阵。再根据式(15)得到矿井MIMO信道的空间相关矩阵R′。

矿井MIMO相关信道响应可按照式(16)的计算方法得出

vec(H)=R′×vec(HNak) 。

(25)

2.3 矿井MIMO相关信道容量

采用NT×NR维复传输矩阵H表示信道矩阵，H=(hij)NT×NR，矩阵元素hij表示第i根发射天线到第j根接收天线的复传输系数。

假设发射总功率为P，且信道矩阵H在发射端未知，则在所有发射天线上平均分配发射功率[8]，即每根发射天线功率均为P/N，则每根接收天线的功率为P。在煤矿巷道中，存在各种不同来源的干扰，为研究方便，这里假定矿井通信系统只受加性高斯白噪声干扰，且每根接收天线的噪声功率为σ2，则可得接收端信噪比(SNR)ρ=P/σ2。

由奇异值分解理论，信道矩阵H可以被分解为

H=UDVH。

(26)

式中：(·)H表示矩阵的共轭转置；U和V分别是NT×NR和NR×NR维酉矩阵；D=diag(σ1,σ2,…σN)是NT×NR维非负对角矩阵，其中，N=min(NT，NR)，σk(1≤k≤N)是矩阵H的第k个奇异值。

根据香农容量公式，MIMO信道系统容量可表示为

(27)

因为奇异值σk的平方是矩阵HHH的特征值，所以MIMO信道容量公式可以写为

(28)

式中：det(·)为矩阵行列式；IN为N×N阶单位矩阵；Q是Wishart矩阵，定义为

(29)

煤矿巷道的无线通信信道随时间变化，即H是随机矩阵，MIMO信道容量是随机变量，其均值为

(30)

式中，E(·)为数学期望。

当NT=NR=1时，即单根收发天线通信系统，根据香农容量公式，其平均信道容量可表示为

(31)

式中，h是观察时刻的信道增益。

3 仿真结果及分析

3.1 信道相关性分析

矿井MIMO信道的空间相关性主要与天线单元间距、信号AOD和AOA以及收发端角度的PAS分布和AS有关。仿真中发射天线和接收天线数目均为2。发射端PAS服从Laplacian分布，接收端PAS服从Gaussian分布。另外，为了仿真和理论分析方便，对仿真环境做如下简化：假设信号AOD为25°，并且发射机与接收机完全实现同步，这样AOA可取为25°。发送天线间距与空间相关系数的关系如图4。

图4 发送天线间距与空间相关系数的关系图

当AS=25°时，发送天线间距在λ到2λ之间对应的空间相关系数从1迅速减小为0.18。当空间相关系数低于0.2时，对信道容量影响较小，此时空间相关性对信道的影响可忽略不计。因此，要获得较大的信道容量，发送天线间距至少大于2λ。而当AS=7.5°时，若使空间相关系数降到0.2以下，发送天线间距至少为6λ。然而矿井巷道空间有限使得天线单元间距不能过大，因此信道的空间相关性不可忽略。此外，在发送天线间距不变的情况下，AS越小，天线的空间相关性越大。接收天线间距与空间相关系数的关系如图5。

在接收端，当AS=33°时，要使其空间相关系数低于0.2，只要接收天线间距大于2.2λ即可；当AS=4°时，空间相关性随接收天线间距的增加而缓慢下降。若要使天线间的空间相关性足够小，即空间相关系数小于0.2，天线间距至少为9λ。

图5 接收天线间距与空间相关系数的关系图

3.2 信道容量分析

矿井MIMO相关信道容量与收发端天线数目NR和NT、信道矩阵H、每根接收天线的信噪比ρ以及信道空间相关性有关。要生成信道矩阵H，首先要得到非相关信道响应HN。非相关信道响应HN的仿真参数设置见表1。

表1 仿真参数设置

对于信道空间相关性的计算，本文根据文献[9]设置的仿真环境选取仿真参数。发射端天线间距为3λ，AOD为60°，AS为12°；接收端天线间距为2.5λ，AOA为60°，AS为7.5°。仿真中对信道容量进行1 000次采样。在不同收发天线数目的情况下，平均信道容量随SNR变化的曲线如图6。

图6 收发天线数目对平均信道容量的影响

在信噪比不变的情况下，随着收发两端天线数目的增加，信道容量随之增大。然而，只增加发射端(或接收端)一端的天线数量时，信道容量的增加并不明显，如1×1天线系统与2×1天线系统的信道容量几乎相同，而1×2天线系统与前二者相比，信道容量约增加了1 bps·Hz-1，这是由于接收端天线采用了接收分集；只有收发两端同时增加天线数量，信道容量明显增加，如：2×2和4×4天线系统。当信噪比为20 dB时，4×4天线系统比2×2天线系统的增加了8 bps·Hz-1，比1×1天线系统增加了13 bps·Hz-1。信道的空间相关性对平均信道容量的影响如图7。

图7 信道的空间相关性对平均信道容量的影响

在不改变收发端天线数目的情况下，信道空间相关性的存在降低了平均信道容量。当SNR=10 dB时，相关信道的平均信道容量比非相关信道的平均信道容量减少了约0.9 bps·Hz-1；当SNR=20 dB时，减少了约1.4 bps·Hz-1。然而，与单天线系统信道相比，相关信道的平均容量依然有明显的增加，平均增加了约2.2 bps·Hz-1。因此，即使信道存在空间相关性，增加收发端天线数目依然可以增大平均信道容量。信道多径数目L分别为2、4、6时的平均信道容量随SNR变化的关系如图8。平均信道容量随着L的增加而增大，但并不明显。L每增加2，平均信道容量只增加了约0.2 bps·Hz-1。

图8 不同信道多径数目对平均信道容量的影响

4 结 语

MIMO信道的空间相关性与收发两端天线间距及角度扩展有关。天线间距越大，对应信道空间相关性越小；角度扩展越小，对应信道空间相关性越大。MIMO信道的平均信道容量受收发两端天线数目的影响。随着天线数目的增加，平均信道容量变大。但是只增加发射端(或接收端)一端的天线数目时，信道容量的增加并不明显。只有收发两端同时增加天线数目，信道容量有明显的增加。MIMO信道空间相关性的存在使其平均信道容量减小。虽然MIMO信道中存在空间相关性，但其平均信道容量仍然比SISO平均信道容量有所增加。在其它条件不变的情况下，MIMO平均信道容量随信道多径数目的增加而增大。

MIMO信道的空间相关性越大，MIMO信道容量越小。因此，要增大矿井MIMO-OFDM无线通信系统的信道容量，必须在矿井巷道内合理地部署收发天线系统，使其相关性尽可能地减小。由于空间相关系数低于0.2时对信道容量影响较小，此时空间相关性对信道的影响可忽略不计，因此，发送端天线空间相关系数与接收端天线空间相关系数同时低于0.2时，可忽略MIMO信道的空间相关性。

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