行走在变与不变之间 构建生态素养的课堂——以《圆柱表面积与体积练习》一课为例

福建省福州实验小学 杨承军

课堂教学在为学生今后可持续性发展学习夯实基础的同时，还应当充分展示学生的生命价值。作为教师，我们不仅要关注学生的学习状况，还要关注学生的思维水平，更要关注学生的生命状态。为此，我们倡导“数学生态课堂”，实质就是倡导人本主义的课堂，就是强调以学生为主体、以学生发展为第一要务的课堂教学。应该说，把教育生态原理引进数学课堂，在倡导核心素养的今天有着现实的意义。本文试以《圆柱表面积与体积练习》一课教学为例，谈谈生态数学课堂的构建。

一、不变中求变化，发展空间观念

苏轼在《赤壁赋》中写道：“盖将自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也。”他从哲学的角度感慨人生中变与不变的道理。从数学的角度来看，世界上的事物也是千变万化的，而变化中又蕴含着变与不变的因素。如何从“不变中求变化” “变化中抓不变”是我们解决问题的突破口，也是重要的数学思想方法之一。

小学数学教材中蕴含着许多变与不变的素材，教师钻研教材时应深入挖掘，并在教学之中无形渗透，有助于培养学生求同存异的思维品质，帮助学生解决烦琐复杂的问题，提高学生的数学素养。例如，六年级学生已经认知了圆柱的特征，初步掌握了圆柱表面积与体积的计算方法，在这个基础上，教师可以设计自然和谐的数学活动，让学生自主探究，主动发展。

上课一开始，教师给每个同学都准备了一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸，同桌合作交流，让学生开动脑筋思考：能不剪、不折，通过不同的方法变出圆柱吗？比一比谁变出圆柱的办法又多又快。

学生汇报，出现以下三组6个不同的圆柱：

1.把长方形纸卷成一个圆柱，长是圆柱的底周长，宽是圆柱的高或长方形的长是圆柱的高，长方形的宽是圆柱的底周长。

2.绕着长方形的宽旋转一周成一个圆柱，长方形的宽是圆柱的高，长方形的长是圆柱的底半径。

3.绕着长方形的这条对称轴旋转一周，变出了圆柱，长方形的宽是圆柱的高，长方形的长是圆柱的底面直径。

学生汇报后，其他学生闭上眼睛想象圆柱的形状后，教师课件动态演示。

教育生态学认为，教师的教学理念、学生的学习态度、兴趣是课堂教学中主要的限制因子，教师要找准课堂中的限制因子，变限制因子为非限制因子，提高课堂的效率。这个教学片段改变了传统的教学练习课缺少灵动创意，仅仅巩固已经学习的圆柱表面积和体积的知识，让学生解决问题以巩固双基的做法。由一张看似不变的纸，让学生自由驰骋思维，大胆去想象、去创造，通过卷曲、旋转等方法，得出各种不同的圆柱体，从二维到三维的想象，让学生在自己头脑想象的过程中清晰地构建起图形表象，不仅有效激发了学生的兴趣，而且给学生创建了一个自然、和谐、平等的学习环境，在有效激发起学生个体这一最基本、最活跃的生态因子的同时，教师能够充分关注每个学生的认知过程，关注学生知识掌握的过程，关注数学素养，真正做到以学生发展为本，培养起学生“独立之精神，自由之思想”。

二、变化中寻不变，培养深度思维

世界上的事物总是在不断变化、发展着的，而变化中又蕴含着联系和不变的因素，从错综复杂的变化中发现这种联系和不变，往往是解决问题的突破口，这也就是着力培养学生的数学核心素养。对此，南开大学顾沛教授是这样阐述的：“数学核心素养是具有数学基本特征的、适应学生个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。”因此，教师在教学中应抓住“变与不变”的关系，引导学生在联系和不变的比较辨析中，清晰准确地把握数学的本质特征，提升学生的数学核心素养。

学生通过创造圆柱活动变出六个不同的圆柱后，教师引导学生发现问题、提出问题，让学生用数学的眼光观察世界，培养学生的数学思维。为此，我们设计一系列相关联的数学活动，让学生观察围成的圆柱体的侧面积、表面积和体积的变化，从中体会到要探究圆柱体的侧面积、表面积和体积，本质就是探究这张长方形纸长、宽之间的密切联系。

师：刚才同学们用围和旋转的办法将一张长方形纸变出了6个不同的圆柱（课件呈现三组不同的圆柱，如图1），上面的叫矮圆柱，下面的叫高圆柱。

图1

师：比较每一组里的矮圆柱与高圆柱，你能提出什么数学问题？

生：矮圆柱与高圆柱比，谁的体积大？

生：矮圆柱与高圆柱比，谁的表面积大？

师：你们提出的问题都很好，比较每组矮圆柱与高圆柱，你们大胆地猜一猜体积和表面积有何变化？你们再猜一猜：在变化中什么没有变？

学生猜测后，教师板书：圆柱的侧面积不变，表面积和体积变了？

同桌合作进行验证，验证过程使用计算器。

学生汇报。

第一组学生：我们验证了第一组围成的两个圆柱，侧面积不变，表面积和体积变了。

师：侧面积不变你是怎么验证的？

生：我计算的，都是等于600平方厘米。

师：除了计算还有没有其他更快的方法？

生：我认为不用计算，它们两个圆柱的侧面都是这张长方形纸啊！

师：真棒！这里可以不计算的。表面积你们也是计算吗？

生：矮圆柱表面积是 757cm2，体积是1570cm3；高圆柱表面积是 656.52cm2，体积是847.8cm3。

生：侧面积不变，矮圆柱的表面积比高圆柱的表面积大，因为底面积大，这也可以不计算。

师：不同的孩子有不同的思考。

第二组学生汇报：我们验证了绕长和宽旋转的两个圆柱，侧面积不变，表面积和体积变了。我们是通过计算验证的。

师：侧面积不变？你们能列出算式吗？

生：矮圆柱的侧面积是这样列式的：30 × 2 × 3.14 × 20。高圆柱的侧面积是：20×2×3.14×30。因数的个数一样，因数也一样，积肯定相等，不用计算了，侧面积一样，底面积矮圆柱大，表面积也大。

师：太棒了，掌声响起！计算是一种办法，对比因数和它的个数就能知道谁的侧面积大了，这也是很好的办法呀！

第三组学生汇报：我们验证了分别绕长方形两条对称轴旋转的两个圆柱，侧面积不变，表面积和体积变了。

师：刚才各组通过观察、计算、推理、比较等方法得到了什么结论？

生：每一组圆柱的侧面积不变，表面积和体积变了。

师出示数据统计表，如图2：

图2

师：老师把你们刚才验证的数据整理在一张表中，观察这张表，还发现了每一组里的两个圆柱的表面积和体积的变化有什么规律吗？

生：侧面积不变的情况下，底面积越大，表面积和体积也越大。（师板书）

郑毓信教授认为：“数学学习的一个主要价值就是有利于人们思维方式的改进，并能使人们逐步学会更清晰、更合理、更深入地思考问题。”学生对比高、矮不同的圆柱，思考并提出“哪个圆柱体积大？哪个圆柱表面积大？” 的有价值的数学问题，同时产生这样的直觉思维：用同样一张纸“变”的两个圆柱，侧面积不变，矮圆柱的表面积和体积更大，抓住这一有效的思维契机，教师顺势诱导学生进一步思考：根据猜想怎样进行验证？由于学生的个体思维发展不同，选择验证的方法也不同，在这样的生态课堂中，教师遵循耐度定律、最适度原则，在思维强度上控制在一定范围，提高课堂效果。这一个教学片段中，因为充满了平等、充满了尊重，学生由直觉思维到合情推理，由一张纸变成圆柱，进而引导学生提出问题，探究解决问题的过程中，无不充满着智慧的挑战，学生思维的深度得以不断提升。

三、探究中建模型，提升数学素养

对于新课程来说，最重要的是让学生真正理解数学。在这种意义下，数学建模是非常重要的。而所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言概括或近似地表述出来的一种数学结构。构建理想课堂，渗透数学建模思想，就应该让学生经历探究数学规律的过程，帮助学生在活动中体会数学、了解数学、认识数学。教学中，我们采用“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的过程来进行。

通过同样一张纸“变”出不同的圆柱，当学生提出“侧面积不变，矮圆柱的表面积和体积更大”时，教师一般组织学生通过计算加以验证，得出结论后这节课就完成了。我们认为数学核心素养的课堂，需要教师有更长远的眼光，有更高的教学目标追求，既要让学生知其然，更要让学生知其所以然。这就需要教师适时渗透数学模型思想，这是促进学生可持续发展的关键，这会持续地、隐性地影响一个人从事数学以外活动时的思维和做事方式。为此，我们组织学生进行下面的探究：

师：这是我们在有限的时间里研究三组圆柱得到的结论，通过一张长方形纸围或旋转得到的每组圆柱，我们发现：每组圆柱侧面积相等，底面积越大，表面积和体积越大，我们还能用其他办法验证这个结论吗？

生：我再用一张长10厘米、宽5厘米的长方形纸变出圆柱来验证。

生：我用长25厘米、宽12厘米的纸变出圆柱验证。

师：说得完吗？那怎么办？

生：老师，可以用字母代替。

师：好办法，如果长为acm，宽为bcm，你能算出B组两个圆柱的体积比吗？

学生建模后汇报：

师：今天回去后大家用这种办法算出A组、C组的两个圆柱的表面积和体积的比。

师：同学们，你们即将升入中学，在中学数学里很多时候要用定义定理来证明结论，今天的学习对你们未来的学习是很有帮助的。

学生在课后均完成了其他两组的建模作业。

生态的数学课堂注重从教育生态链法则反思课堂教学，课堂教学培养出来的学生要适应未来社会的需求与终身发展。眼界决定境界，因为自然和谐，所以师生形成了“学习共同体”，学生很自然地提出用字母验证，这就是构建数学模型；因为尊重个性，所以优秀的学生能自己用字母验证了B组圆柱的体积比，而老师并没有要求所有的孩子都要达到如此高的要求；因为开放、共生，所以课堂上没有建模的孩子在优秀学生的影响下产生想成功的心理，回家后也努力验证。

生态的数学课堂，顺应自然、尊重个性、返璞归真、教学相长，学生才会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，核心素养才能从课堂中生长出来，才有诗和远方的田野。

[1]陈旗敏．教育生态学视野下的课堂教学[J]．内蒙古师范大学学报（教育科学版），2008，21（1）：110．

[2]张连明，数学模型．“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核．