关于“理解”指向的高三数学复习教学思考

2018-06-05

江苏教育 2018年27期

琳达·达林-哈蒙德（Linda Darling-Hammond）是斯坦福大学教育学院教育学教授。她在《高效学习——我们所知道的理解性教学》一书中指出：“只把数学当成是一套需要掌握原理和程序的学生，将只会学到那些——原理和程序——而他们在概念理解能力和问题解决技能上会收获很少”。［1］理解性教与学，正成为数学教学的应然选择与追求。

高三数学复习课中，常常见到以下现象：在知识梳理环节，教师或简单呈现式回忆，或轻描淡写地带过；在讲解典型例题时，教师多示范解法而少示范想法，更少涉及解法本质的剖析；学生的巩固训练则更多地停留在“照瓢画瓢”的模仿层面……凡此种种，使得学生一次次错失对概念理解、对问题本质理解的机会。究其原因，既有“磨刀怕误砍柴工”的急功焦躁之心，更与对理解性教学缺乏认同有关。本文借高三复习课中的几个案例，就知识梳理、例题示范、迁移巩固环节，如何通过理解性地教，去帮助学生理解性地学，谈点个人的看法。

一、知识梳理，应促进学生对复习内容的深度理解

案例1：简单呈现式复习。

在一节“直线的方程”复习课上，一开始，教师投影出示以下内容：

（1）直线l经过点P1（x1，y1），斜率为k，则它的点斜式方程是__________。

（2）若直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，则它的方程是__________。

（3）直线l经过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），它的两点式方程是__________。

（4）若直线 l在 x轴上的截距为 a（a≠0），在y轴上的截距为b(b≠0),则它的方程是__________。

（5）直线方程的一般式是Ax+By+C=0，其中A，B应满足的条件是__________。

高三数学复习的一大重要任务就是使学生的知识系统化、结构化，并加深其对知识的理解及知识间内在联系的把握。上述对直线方程有关知识的梳理，是典型的呈现式教学，学生对用“数”来表征“形”的解析思想、对直线方程的四种特殊形式及其内在联系的认知仍浮于表面，温故未能知新。

案例1的改进：

师：同学们，所谓直线方程，实质上就是用这条直线上任意一点的坐标（x，y）去刻画直线所满足的几何条件，也即直线几何特性的一种代数表达。请思考以下四个问题：

（1）给定一个点P0和直线的方向，可确定一条直线。怎样代数化地表述这条直线？

（2）直线方程有四种特殊形式，你认为哪一种是“最基本”的？这四种形式中的每一种，是否能表示平面内的所有直线？为什么？

（3）为什么又会有个直线方程的一般式？它有什么作用？

（4）求满足下列条件的直线的方程：①直线 l经过点 A（－4，6），B（0，－2）；②直线 l经过点 A（3，－4），且在两坐标轴上的截距相等。

【分析】教师一开始所说的话是对解析思想的再强化。问题（1）通过对点P0和方向这两个几何条件的代数化——坐标、斜率，进而将直线上任一点P所满足的几何条件（与点的连线就是给定的方向）翻译成代数形式。在这一师生互动的过程中，学生对直线方程产生的背景有了进一步的体认，对解析思想的理解自然又深了一层。问题（2）旨在帮助学生理解点斜式是四种具体形式中最基本的一种，其他形式均由此推导而来，从而理解这四种具体形式间的内在联系。而四种形式的局限性，是由代数刻画时的局限带来的。例如，垂直于x轴的直线的斜率不存在，两点式或截距式中的分母不能为零等。问题（3）是帮助学生进一步认识直线方程的一般式是前面四种具体形式的“共性”概括，即：直线的方程究竟“长”什么样？进一步地，像点斜式、截距式方程化成一般式Ax+By+C＝0后，其系数A，B，C应满足什么条件？从而丰富学生对不同表达式内在联系的理解。问题（4）的第①问，可用点斜式或两点式或斜截式求解。第②问，解题后教师可追问：为什么用点斜式方程y+4＝k（x-3）解此问题不会漏解？（因为本题中截距相等的直线，其斜率必存在。）

学生对要复习的内容，并非一无所知，更多的是在某些点上一知半解，似懂非懂。教师要做的，就是诊断学生的疑难困惑所在，把要复习的知识内容放在单元、章节乃至更大的背景上去考量，分析其内在联系的节点。并以此为起点，创设情境，设计辨析问题或编制练习，激发学生思维参与。学生在对问题思考和解答的过程中，自主地在头脑里提取、整合学过的知识，并用新的方式“解释、推断、联系、应用”。经过这一番梳理，学生对要复习的知识、概念才能结构化，在原有基础上才能有新的认识，新的体悟。

上面改进后的案例1，在学生复习的基础上，对解析几何的思想、直线方程几种形式间的内在联系及其运用时的局限性等做了有机整合。通过问题驱动、小题练习的方式，引导学生对原有知识方法进行深层次思考，促进他们对复习内容的深度理解。

二、例题示范，应透视剖析方法之源流与本质

案例2：重术轻道的解题教学。

在一节“两条直线的位置关系”的复习课上，教师出示了以下一道题：

若直线 l1：y＝kx+k+2 与 l2：y＝-2x+4 的交点在第一象限，则k的取值范围是_____。

待学生思考片刻后，教师请一名学生到黑板前讲解自己的解题思路。如图1，这名学生观察出直线 l1是过定点 P（－1，2）的动直线，将定点 P 与 A（2，0），B（0，4）分别相连，得直线PA，PB，由直线PA，PB的斜率和题设条件，用数形结合的方法，得到

图1

【分析】这位教师让学生讲解自己解题过程与思路的做法值得肯定。但这种利用数形结合的巧妙做法不一定是所有学生在第一时间都能想出的，教师应当对更一般的解法进行深入分析。

案例2的改进：

在这名学生讲解之后，教师可作如下进一步的交流：

（1）“交点在第一象限”，能否将交点坐标解出来？（解出交点坐标就是用代数方法处理几何问题，而这正是解析思想的本质。）

（2）在解出交点的横坐标后，是否一定要解出交点的纵坐标？

上述三个问题，直击解析几何学习中的两个重要问题——代数方法蕴含的解析思想，代数运算能力的训练与培养。笔者认为，本题更宜以代数方法为主。数形结合之巧法，可作为对代数结果的验证。

案例3：口号式的解题教学。

在复习“线面平行”时，一位教师选用了下面的题：

图2

如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是AB的中点。求证：AC1∥平面CDB1。

教学片段如下：

师：要证线面平行，常用的方法是什么？

生：（近乎齐答）找线线平行。

约一分钟后，个别学生有了思路，教师提问学生Z。

生Z：连接BC1交B1C于点M，连接DM，由条件知道，BCC1B1是平行四边形，所以M是BC1的中点，而D是AB的中点，由三角形中位线定理，DM∥AC1，DM就是要找的线。

师：很好。这位同学由条件中的中点D联想到中位线，找到了这条线。

【分析】这里，学生Z将平面CDB1内的这条线找出来后，大部分学生对学生Z的思路进行认可和确认。笔者考虑的则是：证明线面平行这一类问题，其本质方法究竟是什么？难道就是这位教师说的，由中点联想到中位线这样的套路？是不是停留在“找线线平行”这样的口号？怎样从方法本质的层面去指导学生找出这样的线？

回到线面平行的判定定理，不难看出，在平面内要找的这条线与平面外的那条线是平行的，其实质是共面的。因此，要找的这条线DM是过面外那条线AC1的平面BAC1与已知平面CDB1的交线——将空间线面平行的推证问题转化为平面上两条线的平行问题，这才是线面平行这一类问题处理方法的本质。学生理解了这一点，余下的只是如何找这样的一个辅助平面BAC1的具体技术问题。本题是将点B视为中心，用中心投影法找出了辅助平面。在有些情境中，是用平行投影的方法找到这样的辅助平面。

上面这样一个小小的教学环节就涉及了空间问题平面化的降维思想，对几何定理中蕴含的基本图形、基本方法本质的剖析以及基本作图能力。江苏省特级教师马明曾谈过数学教学功能的四个层次：数学观念、数学思想、解题方法、解题术。从上述案例2和案例3中，可以看到有的教师在平时教学中过多地关注了解题的具体方法、技术、技巧，而忽视了更高层次的观念、思想、宏观的解题策略，即理解性学习的解题之“道”。从“道”入手，学生才有可能在模仿、体悟、反思并不断积累经验的基础上，有更深刻的理解，并内化成自己的、自然而本质的解题思想、解题方法和分析策略。

三、迁移巩固，应立足变式析理助悟

变式教学不仅在新授课中，在高三复习课中更是被广泛运用。通过变式与迁移，将习得的方法运用于新的情境，解决新的问题，从而提升理解数学的能力。但就笔者平时听课观察发现，不少变式教学的目的性和方向性不明，要么是原题的简单翻版，要么是变成了与原题不搭界的一个新题，原题在变式中变了味。

高考复习中很重要的一个环节就是在温故的基础上求新知。其中，变式迁移是通过实战演练达成新知内化的有效途径和手段。具体关系可见图3。

案例4：复习函数奇偶性。

在复习函数奇偶性时，学生常有这样的三个难点：一是定义域是否关于原点对称；二是分段函数的奇偶性的判断；三是奇偶性与单调性的综合运用。以下题目涉及的变式就很好地体现了由浅度感知到深度理解，进而到迁移内化的训练过程。

（1）设定义在 R 上的偶函数 f（x）在［0，+∞）上是减函数，则不等式 f（x）＜f（3）的解集是________。

（2）设定义在R上的偶函数f（x）在［0，+∞）上是减函数，则不等式f（x）＞f（2x+1）的解集是_________。

（3）已知函数 f（x）=x2-|x|，若 f（-m2-1）＜f（2），则实数m的取值范围是________。

【分析】上述三道题，题（1）是直接运用偶函数与单调性的关系，结合图象就可得解；题（2）则触及这类问题的本质：函数值大小→自变量值大小→自变量x,2x+1的绝对值大小→图象上的点与对称轴的距离远近；而题（3）则将一般的偶函数具体化，考查学生能否洞察出其奇偶性、单调性，是对所学知识和方法运用于新情境下能力的检验。

数学教育专家顾泠沅先生曾系统分析和阐述过变式教学，确认和说明了两种变式——“概念性变式”和“过程性变式”。在高三复习课教学中，应运用这两种变式，在变式中求递进，以不断提升学生在新情境中解决问题的能力。

以上所论及的高三数学复习课教学中的三个方面都是对为理解而教，为理解而学的追求。复习中，立足深度理解，方能透视方法本质，方能跳出题海，复习教学才能高效。