RN上临界p-Kirchhoff型方程非平凡解的存在性

王 萍， 刘进生

(太原理工大学 数学学院, 山西 太原 030024)

本文主要利用变分方法, 结合山路引理与集中紧性原理, 研究了RN上带有临界非线性项的p-Kirchhoff型问题

RN上的Kirchhoff型问题

(1)

作为椭圆型方程非局部问题的典型代表, 并且它又在实际生活中被广泛应用, 故而近年来有许多作者研究了其非平凡解的存在性[1-7]. 与此同时, 也有大量作者将问题(2)推广到含有p-Laplace算子Δp的情形, 即所谓的p-Kirchhoff 型问题, 如文献[8-12]研究了p-Kirchhoff问题

(2)

非平凡解的存在性. 文献[13]又研究了更一般的p-Kirchhoff型问题

(3)

非平凡解的存在性与多重性. 但文献[13]的研究方法不适合问题(P)的研究, 因为问题(3)中的非线性项f是次临界的, 而我们所研究的问题(P)中的非线性项含有临界项|u|p*-2u.

本文所使用的方法是文献[6]与[7]研究方法的一个结合与推广. 主要结论为

定理1 假设p2

1)p2

1 基本引理

对任意的1≤s≤+∞,|·|s表示通常的Lebesgue 空间Ls(RN)上的范数. 对固定的常数a,m> 0, 可以在W1,p(RN)中引入等价范数, 即u∈W1,p(RN)时， 定义

可以证明， 当u∈W1,p(RN)时, 问题(P)所对应的能量泛函为

(4)

并且I∈C1W1,p(RN),R, 从而由式(4)定义的泛函I的临界点即为问题(P)在W1,p(RN)中的解.

本文中, 由于问题(P)是自治的,结合对称临界原理, 只需在径向对称空间

RN)=

{u∈W1,p(RN)∶u(x)=u(|x|)}

中证明I存在非零的临界点即可.

引理1 当p2

证明显然有I(0)=0. 由式(4), 利用Bernoulli 不等式((1+x)α≥1+αx,α>1,x>-1)及Sobolev嵌入定理知， 存在常数C1,C2>0使得

注意到p0,α>0, 使得I|∂Bρ(0)≥α>0. 而当t>0时, 有

根据山路引理及引理 1, 令Γ是E中联结0与e的道路的集合, 即

Γ={g∈C([0,1],E)|g(0)=0,g(1)=e},

记

(5)

那么c≥α并且I关于c存在临界序列{un}. 若I还满足(PS)c条件, 则c是I的临界值. 为了证明{un}在E中满足(PS)c条件, 需要给出式(5)中c的一个上界并证明{un}在E中是有界的.

记空间D1,p(RN)={u∈Lp*(RN)∶u∈Lp(RN)} 中的Sobolev最佳嵌入常数为S, 注意到p2

(6)

有唯一的正实根, 记为μ. 定义

(7)

那么， 由式(6)容易知道

引理2 若定理1的假设条件成立, 则c

证明对任意的ε,r>0, 取Uε(x)=φ(x)U(x,ε), 其中

直接计算有

(8)

且当p2≥N时, 有

(9)

当p2

(10)

那么

3) 当t′

则

y′(t)=

由此容易证明y(t)存在唯一的最大值点tε>0, 它满足y′(t∈)=0. 令

注意到

结合式(8)可知, 当ε→0时,

所以， 由式(6)可得F(μ,A0,B0,C0)=0, 而

于是由隐函数定理可知, 在点(μ,A0,B0,C0)附近， 方程F(tε,Aε,Bε,Cε)=0可以确定隐函数

tε=f(Aε,Bε,Cε),

从而由隐函数的连续性知， 当ε→0时,tε→μ, 将其在点(A0,B0,C0) Taylor展开得到

tε=f(A0,B0,C0)+

(11)

于是将函数y(t)中的每一项都在t=μ点Taylor展开, 计算可得，y(tε)=c*+O(εα), 而当t′0使得

综合(1), (2)及(3)可知在定理1的假设条件下c

引理3 当p2

证明一方面, 因为当n→∞时,I(un)→c,I′(un)→0, 故

(12)

式中：εn→0(n→∞).

另一方面, 仍利用Bernoulli不等式, 容易估计出

(13)

注意到p>1, 故由式(12)及(13)知， {un}是有界的.

2 主要结论的证明

定理1的证明只需证明由式(4)定义的泛函I满足(PS)c条件.

假设{un}⊂E, 满足I(un)→c,I′(un)→0. 由引理3知{un}是有界的, 于是对{un}的某个子列, 仍记为{un}, 存在u∈E, 使得

(14)

由集中紧性原理[15], 结合空间E的特性知， 对{un}的某个子列, 仍记为{un}, 存在数η0,v0≥0使得在测度意义下有

|un|p⇀dη≥|u|p+η0δ0,

|un|p*⇀dv=|u|p*+v0δ0,

(15)

下面证明η0=v0=0. 用反证法. 若η0,v0中至少有一个不为零, 与文献[7]中的证明同理可得， 对固定的v0,η0, 有v0≥(a+bη0)p-1η0, 因此有

(16)

从而η0,v0>0, 再结合收敛性结论(14), 计算得到

(17)

对于函数

故

因此， 由式(17)得到c≥c*, 这与引理2的结论矛盾, 故η0=v0=0. 而由文献[16]可知

(18)

其中

因此

(19)

由I′(un)→0, {un}的有界性以及式(14)可得

o(1)=〈I′(un)-I′(u),un-u〉=

(20)

由Hölder不等式, {un}的有界性以及式(19)可得

(21)

又因为un⇀u, 且{un}有界, 故可得

(22)

由文献[17]知存在正常数Cp, 使得对任意的ξ,η∈RN, 有

(23)

因此， 由式(23), Hölder不等式及{un}的有界性知， 存在正常数C使得

(24)

且

(25)

则由式(20)～(25)可得

所以

因此， ‖un-u‖→0, 结合在E中un⇀u, 可以得到在E中un→u.

参考文献：

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