飞行高度对高超声速钝锥边界层稳定性及转捩的影响

姚世勇，闵昌万，马祎蕾，杨 攀

(中国运载火箭技术研究院空间物理重点实验室，北京 100076)

0 引 言

高超声速边界层从层流状态转捩为湍流状态时，会使飞行器表面摩擦阻力和表面热流急剧增加，直接影响着飞行器的飞行性能。准确预测边界层的转捩位置有助于飞行器的气动设计和结构设计，提高飞行器的飞行效率和飞行安全。

影响边界层转捩的相关因素包括来流湍流度、当地马赫数、单位雷诺数、头部钝度、横流或三维效应、不规整飞行器外形存在的壁面凹陷或突出以及出于流动控制目的的壁面冷却、吹吸等。在高超声速流动中，还存在着激波边界层干扰、熵层吞噬效应、气动加热烧蚀导致的表面变形及粗糙化，以及膨胀流动下的再层流化等流动现象。由于涉及的因素众多，问题复杂，因此高超声速边界层转捩预测一直是空气动力学的难点之一。

圆锥是飞行器前体典型的组成部分，前人对高超声速流动下圆锥边界层的流动稳定性及转捩特性开展了大量的研究。Mack[1]发现在超声速和高超声速边界层中，除了黏性引起的第一模态不稳定波外，还存在一族在壁面和相对声速线之间来回反射的声波，其中最低阶的波被称为第二模态不稳定波。Stetson等[2-5]对来流马赫数8、半锥角7°的尖锥和钝锥边界层的稳定性特征进行了详细的实验研究，发现边界层内主要不稳定波是第二模态。苏彩虹等[6]对零攻角小钝头圆锥高超声速绕流边界层的稳定性及转捩预测问题进行了研究，发现第二模态波对等温边界层的转捩起主导作用，但对绝热边界层的转捩起主导作用的是第一模态波。杨云军等[7-8]通过构建转捩湍流模式对零攻角椭圆锥和小攻角钝锥高超声速边界层的转捩特性进行了研究。常雨等[9]对钝锥边界层的转捩特性进行了试验研究，发现攻角增大使钝锥迎风面和背风面的边界层转捩位置均前移。张毅锋等[10]通过压力梯度参数和湍流普朗特数的修正对低速γ-Reθ进行了改进并应用到高超声速流动转捩模拟，改进后转捩模型取得了与风洞实验数据符合较好的计算结果，复现了高超声速尖锥实验中转捩起始位置和转捩区长度。

基于线性稳定性理论的eN方法被认为是比较可靠的边界层转捩预测方法，它将扰动波的增长率在增长区内进行积分，得到扰动幅值的放大因子N。当N值达到由实验标定的某个阈值NT时，即认为流动发生了转捩。Smith等[11]和Van Ingen[12]最早将eN方法应用在二维不可压缩流动的转捩预测中，其后Cebeci等[13]、Malik等[14]、Mack[15]将这一方法推广到三维边界层的转捩预测。近些年来，于高通等[16]利用eN方法对组合体绕流边界层的转捩位置进行了预测。黄章峰等[17-19]对后掠机翼边界层进行了稳定性分析，并结合eN方法进行了转捩预测。

以往的研究工作主要集中在零攻角或小攻角下的圆锥边界层流动稳定性及转捩特性，鲜有较大攻角研究结果的报道。本文研究了10°攻角条件下高超声速钝锥边界层稳定性及转捩的影响，首先采用数值模拟的方法计算了球头半径5 mm、半锥角7°的钝锥在来流马赫数为6条件下的基本流场，然后基于线性稳定性理论分析了不同飞行高度下钝锥边界层的稳定性特征，最后利用eN方法对不同飞行高度下边界层的转捩位置进行了预测。

1 数值方法

1.1 方程和计算方法

为了研究圆锥边界层转捩，将直角坐标系下的可压缩守恒型N-S(Navier-Stokes)方程变化到贴体坐标系下，得到计算所用的控制方程。若贴体坐标系与直角坐标系的对应关系为

(1)

式中:

圆锥坐标系的选取如图1所示。(x,y,z)为笛卡尔坐标系，其中圆锥中轴线为x方向，在与x方向垂直的平面内取任一轴向为y方向，与y方向垂直的另一轴向为z方向；在贴体坐标系(xs,ys,zs)中，xs为当地势流方向，ys为当地壁面外法线方向，zs为横流方向。

数值模拟的流动环境分别为20 km,25 km,30 km,35 km和40 km的高空气体，来流马赫数Ma=6，对应的单位雷诺数Reunit依次为1.11×107m-1,4.95×106m-1,2.26×106m-1,1.02×106m-1和4.75×105m-1。采用CFD++软件计算圆锥的三维流场，无黏通量采用二阶TVD格式进行离散，黏性通量采用二阶中心差分格式进行离散，时间推进采用LGS隐式方法。计算采用无滑移等温的壁面条件，壁面温度Tw= 300 K。计算域包含由钝头产生的激波，流向和法向均采用变网格，流向网格最小间距小于0.1 mm，在边界层内法向网格最小间距为0.001 mm。考虑到有攻角条件下背风中心子午线附近区域流场变化较强，周向采用变网格进行局部加密计算。

1.2 稳定性分析及转捩预测

基于线性稳定性理论的eN方法是通过计算不稳定波的线性增长倍数来预测转捩的。根据线性稳定性理论，小扰动可以写成行进波形式：

(2)

(3)

式中s0为扰动开始增长的位置或参考位置，s为当前位置。得到N(ω,x,z)值后取所有频率下的N值包络作为预测转捩位置用的N值，即

(4)

2 数值计算结果分析

2.1 基本流

本文首先对文献[20]中一典型工况进行了基本流和稳定性分析结果的对比，钝锥的半锥角为5°，钝锥的头部半径为1 mm，来流马赫数Ma=6，来流温度为79 K，壁面温度Tw=294 K，飞行攻角为0°，单位雷诺数为Reunit=107m-1。由图2可以看出，计算得到的速度剖面和扰动增长率与文献[20]中的结果基本上吻合。

为了精确模拟边界层内的流动，满足流动稳定性分析的需要，在计算基本流之前首先对网格无关性进行了验证。边界层内的法向网格采取了三种密度的划分，分别为101个点，151个点和201个点。

图3(a)(b)分别是零攻角条件下x=1000 mm处的质量流量剖面图和流向波数与增长率关系分布图，可以看出，法向101个点的剖面有明显偏差，法向151个点和法向201个点的剖面符合的很好。本文最终采用边界层内为151个法向网格点计算基本流。

图4给出了圆锥基本流的当地马赫数在不同流向位置处的分布和圆锥壁面极限流线分布。由图可以看出，圆锥边界层内的流线明显从迎风面向背风面弯曲，呈现出明显的三维性特征。圆锥边界层厚度从迎风面向背风面变厚，并在背风面的中心子午线附近发展出一个流向涡结构，流向涡结构的强度沿流动方向逐渐变强。圆锥边界层在背风面出现了二次流动分离现象，此时圆锥边界层内的大尺度流向涡含有复杂的二次涡流动结构。随着飞行高度的增加，圆锥边界层厚度逐渐增大，相同流向位置处的流向涡结构相应地增强，发生二次分离的位置逐渐向背风中心子午线移动。

图5给出了流向x=1300 mm横截面处不同周向位置的流向速度和横流速度沿法向的分布，由图5(a1)(a2)(a3)可以看出，随着飞行高度的增加，流向速度剖面逐渐抬升，说明边界层厚度逐渐增大。由于迎背风面压差的存在，边界层内的流体从迎风面向背风面流动，边界层附近的流向速度逐渐增大并趋向于1。横流失稳属于拐点失稳，横流不稳定性强度与横流最大速度直接相关。图5(b1)(b2)(b3)中横流速度峰值随着飞行高度的增加而减小，横流效应减弱，横流扰动受到抑制。对于同一飞行高度，120°背风子午线上的横流速度大于30°迎风子午线和90°子午线上的横流速度，横流不稳定性最强，相应的横流扰动最不稳定，其扰动波幅值增长最快。用当地边界层厚度对法向坐标进行无量纲化，图5(a4)(b4)给出了120°背风子午线上的无量纲流向速度和横流速度剖面，可以看出，无量纲化后的流向速度剖面和横流速度剖面几乎重合在一起，表明除去流向涡的主要区域，背风面上的流向速度和横流速度具有一定的相似性。

2.2 稳定性分析

圆锥以10°攻角飞行时在背风面会出现主分离和二次分离，通过比较发现背风面分离位置处的速度型并未出现非定常效应，10°攻角下计算得到的基本流为定常流场。图6为具有相同展向波数和频率的扰动波在x=1300 mm处的特征函数沿法向的分布曲线。由图可以看出，30°迎风子午线和120°背风子午线上的流向速度特征函数均存在两个峰值，靠近壁面的峰值较大，远离壁面的峰值较小，两个峰值之间的波谷位置正好对应边界层的外缘处。随着飞行高度的增加，30°迎风子午线和120°背风子午线上的流向扰动波的特征值峰值渐远离壁面，这是由于边界层随飞行高度增加而逐渐变厚。

图7给出了最不稳定扰动波的频率和增长率分布，其中Igrid和Kgrid分别表示圆锥流向和周向上的网格点。由图可以看出，最不稳定波不仅有定常横流涡模态(ω= 0)，还有较低频率的第一模态波和较高频率的第二模态波。不同模态扰动波的频率和增长率在不同飞行高度下是不同的。

图8为不同飞行高度下的流向不稳定波和横流驻波的增长率曲线，由图可以看出，对于相同飞行高度，120°背风子午线比30°迎风子午线在更靠近头部位置出现了流向不稳定波，但是其流向不稳定波的最大增长率较小，而120°背风子午线上横流驻波的最大增长率较大。随着飞行高度的增加，流向不稳定波的失稳位置在30°迎风子午线上前移，在120°背风子午线上后移，而横流驻波的失稳位置在30°迎风子午线和120°背风子午线上均后移，横流驻波的增长区减小。

2.3 N值曲线及转捩线位置

图9给出了不同飞行高度条件下采用eN转捩预测方法计算的N值曲线，图中实心符号表示流向不稳定扰动的Ns值，空心符号表示横流扰动的Ncf值。可以看出，30°迎风子午线上的Ns值远大于Ncf值，120°迎风子午线上的Ns值则小于Ncf值，说明流向不稳定扰动在30°迎风子午线上传播时被放大的倍数比横流扰动要大，流向不稳定波更容易引起边界层的转捩，而横流扰动在120°背风子午线上传播时被放大的倍数比流向不稳定扰动大，此时横流扰动更容易引起边界层的转捩。不稳定扰动波失稳后，30°迎风子午线上的Ns值相比于120°背风子午线增长较快，但其Ncf值增长却较慢，转捩位置与杨云军等[8]的结论不相一致。随着飞行高度的增加，Ns值和Ncf值均减小。

图10给出了转捩判据NT= 12时不同频率扰动波引起的转捩线位置图。由图可以看出，在较低飞行高度下，由横流驻波引起的转捩区占据了圆锥表面大部分区域，边界层内流向扰动波的频率增大将引起转捩趋向迎风面移动。由流向扰动波和横流驻波的转捩线位置可以得出，横流不稳定性占主导作用。随着飞行高度的增加，迎风面上由横流驻波引起的转捩线向背风面移动，转捩区靠后并减小，边界层内较低频率的流向不稳定波消失，流向不稳定扰动的频带变窄并向迎风面移动，但横流不稳定性仍然占主导地位。随着飞行高度继续增加，由横流不稳定性引起的转捩区仍然向背风面移动，且转捩区进一步靠后并减小，边界层内的流向不稳定扰动向迎风面移动，此时边界层在背风面的转捩主要由横流不稳定波引起，在迎风面的转捩则主要由高频不稳定波引起。当达到一定飞行高度后，横流不稳定波消失，流向不稳定扰动逐渐减弱直至消失。由此可以推断出，随着飞行高度的增加，由横流扰动引起的圆锥表面大部分区域发生转捩逐渐转变为流向不稳定波引起迎风面转捩横流扰动引起背风面转捩，继而横流扰动消失流向不稳定波引起迎风面转捩，直至流向不稳定扰动和横流扰动减弱和消失。

3 结 论

本文采用数值模拟的方法，对来流马赫数为6，半锥角7°钝锥在飞行高度20～40 km处的扰流边界层的稳定性进行了研究，并且利用eN方法对带有攻角的边界层转捩位置进行了预测。研究发现，随着飞行高度的增加，流向不稳定波的失稳位置在30°迎风子午线上前移，在120°背风子午线上后移，而横流驻波的失稳位置在30°迎风子午线和120°背风子午线上均后移，流向不稳定Ns值和横流不稳定Ncf值均减小。由横流不稳定性引起的圆锥表面大部分区域发生转捩逐渐转变为流向不稳定波引起迎风面转捩横流不稳定波引起背风面转捩，继而横流扰动消失流向不稳定波引起迎风面转捩。

参 考 文 献

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