点估计的一种敏捷算法
2018-06-01王灿
王 灿
(成都师范学院 数学学院,四川 成都 611130)
1 引言
参数估计包括点估计和区间估计两种方法,而点估计又是区间估计的基础.目前比较常用的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法等,其中矩法虽然简单,但其局限性比较大,对期望不存在的随机变量无法使用;最大似然法依据“一次实验就发生的事件有较大的概率”的思想,是目前应用比较广泛的方法.但对分布律或概率密度复杂的随机变量而言,此种方法的计算量就比较大.但其衍生出的派生估计法[1]就在一定程度上简化了计算.
2 算例
为了使计算更加简便,先给出正态分布的最大似然估计量和派生估计量,并结合定理把已知分布类型的随机变量逼近成正态分布N(μ,σ2),再化成标准正态分布,这样在原来派生估计法的基础上,只需要选择)作为派生估计量即可.
例 1设 X~N(μ,σ2),μ,σ2为未知参数,X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,样本值为x1,x2,…,xn,求 μ,σ2的估计量.
解法一最大似然估计法
X的概率密度为:
似然函数为:
取对数有:
对参数求导有:
解法二派生估计法
则互相独立且都服从标准正态分布,因此把看作来自总体的样本,由正态分布N(μ,σ2)参数均值和方差的最大似然估计,得
两种解法所得结果相同,但派生法更简单.
例 2已知 X~B(n,p),X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,求未知参数p的派生估计量.
解因为 X~B(n,p),由 De Moivre-Laplace定理,得
由标准正态分布N(0,1)参数均值的派生估计量得
例3已知X~U(0,θ],证明未知参数θ的最大似然估计量不是无偏的,但其派生估计量是无偏的.
解由已知得似然函数为显然 L(θ)随 θ 的增加而减少,故 L(θ)在 max{x1,x2,…,xn}处取得最大值,于是θ的最大似然估计量为θ^=max{x1,x2,…,xn},
推得的概率密度为
故最大似然估计量=max{X1,X2,…,Xn}不是无偏的;
因为 X~U(0,θ],由中心极限定理得
由标准正态分布N(0,1)参数均值的派生估计量得
故派生估计量=2是无偏的.
3 结语
以上实例表明,把中心极限定理应用到参数估计理论中是很好的思路,不仅可以简化很多分布类型的参数点估计计算过程,且得到的估计结果还可能具有更好的性质.
〔1〕 孙祝岭.点估计的一种新方法[J].统计与决策,2010(11):163-164.
〔2〕 顾蓓青,王蓉华,徐晓岭,吴生荣.极大似然估计的间接求法[J].统计与决策,2010(10):153-155.
〔3〕 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008.149-156.