基于物理意义的三重积分计算

邓春华

（淮阴工学院 数理学院，江苏 淮安 223003）

初等数学和高等数学的一个非常重要区别在于：初等数学研究的是常量，是学习高等数学的基础，而高等数学更加抽象，研究的是变量.大部分学生在学习直角坐标系下三重积分的计算时感到困难较大，困难的原因主要在于三重积分计算方法复杂，对“先一后二”“先二后一”这两种方法理解不深.下面介绍利用体密度、面密度和线密度的概念及其应用来理解三重积分的两种计算方法.

1 体密度、面密度、线密度

在x轴上的某一区间I上具有质量分布，其线密度函数为ρl(x)，则该区间I上的总质量为

若在平面直角坐标系上有一曲线型构件L，曲线方程也用L表示，其线密度函数为ρl(x,y)（由于线密度函数中的变量x,y满足曲线方程L，其本质是一元函数），则该构件的质量为

若在平面区域D上具有质量分布，其面密度函数为ρS(x,y)，则该平面区域上的总质量为

若在空间区域Ω上具有质量分布，其体积密度函数为ρV(x,y,z)，则该空间区域上的总质量为

2 三重积分“先二后一”“先一后二”的物理解释

首先我们考虑三重积分“先二后一”的计算方法.考虑空间区域具有质量分布，其中体积密度为ρ(x,y,z)，则总质量为

下面我们用微元法来解决三重积分

首先对该物体沿着垂直于z轴方向切片，每一切面在xoy面上的投影记为Dz，显然，投影区域Dz与z有关，不同的z有不同的切面.仅仅考虑从z到z+dz所对应的平面薄片，对该平面薄片再次进行分割，分割成若干等高的小柱体，每一柱体微元具有相同的高度dz，则该薄片上的质量微元为

从而该物体的总质量为，其中 Iz为 z变量的变化区间.则我们有

我们可以这样理解为该物体每一截面收缩、投影到z轴后，对应直线型构件的线密度，即体密度在截面上的二重积分对应为线密度.通俗的讲，即将每一垂直于z轴的截面质量集中到同一高度的z轴上，该过程为二重积分；再求直线型构件（在z轴上具有质量分布）的质量，即沿着投影区域Iz对坐标z求定积分.

显然该方法适用于易求.尤其是在密度函数仅仅与z有关，投影Dz的面积易求情况下，此时为投影Dz的面积.

下面我们考虑三重积分“先一后二”的计算方法.对该物体沿着平行于z轴的方向“切丝”，每一“切丝”具有相同的截面面积.对每一“切丝”再分割，得若干底面积均相等的小柱体.则该小柱体的质量微元为dm=ρ(x,y,z)dxdydz.

首先沿着z轴的方向求“切丝”的质量，底面积为dxdy的“切丝”质量为，从而将每一“切丝”的质量集中到在投影区域Dxy上.

从而该物体的总质量为其中Dxy该物体在xoy面上的投影.则我们有

我们可以这样理解为该物体质量投影到xoy面所对应平面薄片的面密度，即体密度沿着z轴方向的定积分为面密度.

通俗地讲，即将每一平行于z轴的“切丝”质量投影到xoy面上，该过程为定积分；再求平面薄片（在Dxy上具有质量分布）的质量，即在Dxy上对面密度函数求二重积分.显然该方法是我们的常规方法，后面的二重积分可以化为两个定积分进行计算.

〔1〕 李昆,赵刚.三重积分中两种计算方法的比较[J].孝感学院学报，2010(06).

〔2〕 杨玉敏.三重积分的计算方法小结[J].鞍山师范学院学报，2007(02).

〔3〕 王晓锋.三重积分中的一题多解问题[J].科技信息(学术研究)，2007(29).

〔4〕 张慧琴.三重积分的计算方法[J].吕梁高等专科学校学报，2002(01).

〔5〕 马娜蕊.对三重积分“先二后一”计算方法的讨论[J].高等数学研究，2000(01).