浅谈排列组合问题的求解策略

■重庆市铁路中学校 何成宝

排列组合问题联系实际,注重能力与应用的考查,主要涉及化归与转化的思想和分类讨论的思想。其题型多样,思路灵活。下面通过实例介绍几种常见的排列组合问题的求解策略,供同学们参考。

一、相邻问题— —捆绑法

求解此类问题一般是将相邻的几个元素视为一个整体,把它视作一个“大”元素进行排列,故称为捆绑法。

例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种。

A.720 B.360 C.240 D.120

解析:因甲、乙两人要排在一起,故将甲、乙两人捆在一起视作一人,与其余四人进行全排列有种排法;甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知,共有=240(种)不同排法,故选C。

针对练习1:3个女生和5个男生排成一排,其中3个女生必须排在一起的不同排法有( )种。

A.2160 B.4320

C.1080 D.540

解析:因3个女生要排在一起,所以将3个女生视为一个人,与其余5个男生进行全排列,有种不同排法。对于其中的每一种排法,3个女生之间有种不同排法。所以由分步计数原理可知,共有=4320(种)不同排法,故选B。

二、不相邻问题— —插空法

求解此类问题应先排好没有限制条件的元素,再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙及两端位置,故称插空法。

例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,有多少不同的排法?(只要求写出式子,不必计算)

解析:先将6个歌唱节目排好,其不同的排法为种;在这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目,有种排法。由分步计数原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。

针对练习2:由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1与2不相邻的六位数,可以组成____个。

解析:因为数字1与2不相邻,故可用插空法。先排数字3,4,5,6,有种不同排法,每种排法留出五个空位,再将1,2插入,有种排法,所以由分步计数原理可知,共有=480(种)不同排法。

三、定位问题— —优先法

当问题中有限制条件的元素或特殊位置时,应优先将有限制条件的元素或位置排好,再考虑其他元素的排法。

例3 1名老师和4名同学排成一排照相留念,若老师不排在两端,则共有多少种不同的排法?

解析一:优先考虑特殊元素,先排老师,老师不排在两端,只能从剩下的三个位置选一个,有种排法,然后4名同学站在另外4个位置,有种不同排法。由分步计数原理可知,共有=72(种)不同排法。

解析二:优先考虑特殊位置,先排两端,从4名同学中,选2人排两端,有种不同排法,再排其余3个位置,有种不同排法。由分步计数原理可知,共有=72(种)不同排法。

针对练习3:计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列。要求同一品种必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有( )种。

解析:先把3种品种的画看成整体,而水彩画不能放在头尾,故只能放在中间,则油画与国画有种放法,再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列,故总的排列的方法为种,故选D。

四、“至多”与“至少”问题— —直接法或间接法

含“至多”与“至少”的排列组合问题常有两种解法:一种是直接法,即按题设条件分类,然后分类计算选法种数;另一种是间接法,即先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不符合条件的选法,即总体去杂。

例4 某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的不同的选法有( )。

A.27种 B.48种C.21种 D.24种

解析一:(直接法)分类解决,显然满足题意的选法有2类。一类是1名女生,1名男生,选法有=21(种),另一类是2名女生,选法有=3(种),故至少有1名女生当选的不同选法有=24(种),故选D。

解析二:(间接法)先不考虑限制条件,10名学生选2名代表的选法有种,再去掉不合条件的,即2名代表全是男生的有种,故符合条件的选法共有=24(种)。

针对练习4:从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )种。

A.140 B.80 C.70 D.35

解析:在被取出的3台中,若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意,故符合题意的取法有=70(种),故选C。

五、选排问题— —先取后排法

对于从M个数中选N个数,按照一定的顺序排成一列,我们常常采用先取后排法解决此类问题。

例5 从1,3,5,7中选出2个不同的数,从2,4,6,8中选出3个不同的数,组成的五位数共有多少个?

解析:从1,3,5,7中选出2个不同的数有种选法,从2,4,6,8选出3个不同的数有种选法,然后将选出的5个数进行排列有种排法,依据分步计数原理,组成的五位数共有=2880(个)。

针对练习5:将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰有1个空盒的放法共有____种(用数字作答)。

解析:从4个不同的小球中任取2个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法,从4个不同的盒中取其中的3个将球放入有种方法。所以一共有=144(种)方法。

六、组排问题— —先分组后排列法

对于组排问题,要分清是平均分组、不平均分组还是混合分组,还应注意是编号分组还是非编号分组,即组与组之间有无差别。此类问题一般应按先分组后排列的方法来解决。

例6 6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?

(1)平均分成3组;

(2)分成3组,一组1本,一组2本,一组3本;

(3)分成3组,每组书的本数为1,1,4;

(4)平均分给甲、乙、丙三人。

解析:(1)为平均分组,且组与组无编号。先分第一组,有种,再分第二组有种,再分第三组有种,因同一种分组结果,按以上分法可以用种不同顺序分出,故共有

(2)为不平均分组,先拿1个,再拿2个,最后3个为一组,所以共有=60(种)。

针对练习6:7个人参加义务劳动,按下列方法分组有多少种不同的分法?

(1)分成三组,分别为1人、2人、4人;

(2)选出5个人再分成两组,一组2人,另一组3人;

(3)选出6个人,分成两组,每组都是3人;

(4)选出2人一组、3人一组,轮流挖土、运土。

解析:(1)选出1人的方法有C17种,再由剩下的6个人中选出2人的方法有C26种,剩下的4人为一组有C44种,依分步计数原理得分组的方法有C=105(种)。

(2)可直接从7人中选出2人的方法有种,再由余下的5个人中选3人的方法有种,所以依分步计数原理,分组的方法有:=210(种)。

(3)选3人为一组有种,再选3人为另一组有种,依分步计数原理,又每2种分法只能算一种,所以不同的分法有70(种)。

(4)分组的方法有=420(种)。

七、多排问题— —单排法

把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理。

例7 两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每人一个座位),则不同的坐法种数为( )。

解析:此题分两排坐,实质上就是8个人坐在8个座位上,故有种坐法,故选D。

针对练习7:6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是( )。

A.36 B.120 C.720 D.1440

解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可视为6个不同元素排成一排,共有=720(种)排法,故选C。

八、定序问题— —缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。求解这类问题可先全排,再除以定序元素的全排列。

例8 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗,把这5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是____(用数字作答)。

解析:5面旗全排列有种挂法,由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法,故共有不同的信号种数是=10(种)。

针对练习8:5人参加百米赛跑,若无同时到达终点的情况,则甲比乙先到有几种情况?

解析:甲乙是对等的,不是甲先到就是乙先到,一共有A55种情况,所以甲先到的情况

九、“小团体”排列问题— —先“团体”后整体法

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先按制约条件“组团”并视为一个元素,再与其他元素排列。

例9 已知4名男歌手和2名女歌手联合举行一场演唱会,演出的出场顺序是2名女歌手之间恰有2名男歌手,则出场的方案有多少种?

解析:从4名男歌手中选出2名排在2名女歌手之间,2名女歌手全排,组成“小团体”,有种排法,把“小团体”视为1名女歌手与其余2名男歌手进行排列,有种排法,由分步乘法计数原理,可得满足条件的出场方案共有=144(种)。

针对练习9:有7个人排成一行,甲乙之间间隔2个人,有多少种排法?

解析:从除甲乙外的5个人中选2个人与甲乙2人组成“小团体”,有种排法,把“小团体”视为1个人与其余3个人进行排列,有种排法,由分步乘法计数原理,可得满足条件的排法共有=960(种)。