“圆锥曲线中一类定值、定点问题”的教学设计与思考

江苏省张家港市崇真中学 (215600) 童先峰

探究教学是学生思维能力、学科素养增长的一种重要教学形式，本着由易到难、层次分明、循序渐进的原则，笔者以《圆锥曲线中一类定值、定点问题》为例，就如何进行教学设计实现学生自主探究的能力提升与同行交流，敬请指正.

一、备课思考

课前定教学目标：即让学生学什么？定教学形式：即让学生怎么样学？定教学效果：即学生学会了什么？在准备教学的每一个环节时，都要思考上述问题，只有这样做，才能在教学中“润物细无声”的让学生感知“教学目标”，从而实现教学目标.

二、教学设计

引例1 将圆x2+y2=1上的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得曲线的方程是________.

引例2 已知AB是圆O的直径，点P是圆O上异于A,B的点，k1,k2是直线PA,PB的斜率，则k1·k2=________.

设计意图：通过对上述问题的探求，让学生自觉的把圆中的结论进行合理猜想，使学生进入一个探究问题的环节，帮助学生打开思维.

图1

设计意图：分析如何进行有效的简化运算，即如何合理设变量，构建整个求解过程，使得求解过程多方法、少计算，降低了题目的难度.

变式2 直线l改为x=m，定点的坐标是什么？

设计意图：通过几何画板的演示，对变式问题进行检验，进一步体现数学实验的重要性.同时，在数学品质层面上培养学生大胆质疑和举一反三的学习作风.

图2

(1)当直线AP斜率为1时，求点P的坐标；

(2)当直线AP斜率为k时，直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由．

设计意图：通过本题，让学生进一步感受圆与椭圆之间的逻辑关系，体会两者之间的联系.并让学生体会求解定点问题的基本方法.

思路一：先进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，得到所求定(点)值关系所需要的表达式，化简整理求出结果.

思路二：通过特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题.

变式1 (2)改为“直线PQ是否过一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由．”

变式2 若kAP·kAQ=1，直线PQ是否过一定点？

设计意图：通过这一定点问题与圆锥曲线离心率之间的关系，进一步让学生感受离心率e是联系椭圆、双曲线、抛物线的纽带，为学生课下自主探究椭圆、双曲线、抛物线三者之间常见结论规律指明了方向.

三、课后反思

1.基于认知水平，寻找探究教学合适起点

圆锥曲线是高中数学中学生较难掌握的章节，其中有些模块化的过程性结论可以让解题变的十分轻松.但这些结论是怎样来的，如何才会想到这样的结论，是教师在课上需要下功夫解决的问题，教师如果直接告知结论，学生新的认知很难在具体的、已有的认知水平上建立起来.这就需要教师在进行教学设计时，本着充分尊重学生的主体地位和符合学生的认知水平这两个原则，通过引导学生主动参与、独立探索，使得学生自己能够推导出可能的结论.本节课从书本上学生容易解决的两个问题出发，引发联想，提出“你能根据上述两个问题，在椭圆中类比出一个新的问题吗？”让学生自己猜想出一个可能的结论，从这一角度切入对问题的研究，学生就会感觉到有事可做，而不会陷入茫然无措.再从已经得到的小结论出发，进行一般化研究，利用一个典型问题，深化过程性小结论的重要性，得到了本节课的核心内容，展现了知识探究的真正的发展过程，实现了学生思维的“自然流淌”.

2.基于合情推理，发挥学生思维联想能力

“推理与证明”是普通高中《数学课程标准》(实验)新增加的内容.在教学过程中，有些教师可能只是在教材中遇到该内容时才意识到用合情推理去探究一些问题，而在其它时候往往忽视合情推理的作用.换句话说不少教师仍将合情推理作为教材中的一个知识点在教，在其它更多的教学时间中并没有将归纳、类比、一般化、特殊化等合情推理的思维方式自觉应用到教学中去，这也在一定程度上造成学生缺乏通过合情推理去提出问题，解决问题的能力.本节课在将圆中的结论及圆到椭圆的变化过程展现给学生后，让学生提出一个新的问题，而在解决以后，又让学生对典型例题中的题干提出质疑，题干中的直线为什么是这样一条直线，能不能是其它直线，从而让学生感受问题是怎么出来的，解题后的反思使问题达到了一个新的高度，这也正是因为充分利用了合情推理才让学生的思维在探究课堂上达到了一个小高潮.随后，让学生大胆猜想圆中的其它结论，这些结论是否可以类比迁移到椭圆中，类比到椭圆中的结论又是什么？怎么样才能得到证明，从而实现探究课堂中的真正探究.

3.基于学习兴趣，实现课上课下能力延伸

知识是载体，能力是立意.课堂上的时间是有限的，知识仅仅是探究思想、探究方法的一个载体，如何让学生在认识本节内容的同时，有更多的思考，激发更多的学生课下探究的兴趣，实现课下的一种自主延伸探究才是探究教学真正意义上的成功.本节课通过一个统一结论“e2-1”，让学生感受在有心圆锥曲线中两直线斜率乘积的结果可以利用离心率得到形式上的统一，学生在感受圆中结论迁移到有心圆锥曲线的同时，也让学生对圆锥曲线的离心率有了更深的理解.同时通过课后相关阅读材料的阅读，让学生进一步充分体会到圆锥曲线中许多结论都是可以通过离心率来进行统一.这样一来，学生在课下学习圆中相关结论时，不仅会很自然的想到有心圆锥曲线中有类似这样的结论吗？如果有，这个结论是什么呢？而且也会联想到结果用什么样的形式出现.从而真正打通学生探究思维上的“任督二脉”.