基于一道考试题引发的思考

李卫超

摘要：数学解题是培养学生数学思维的一个重要方面，但是如果只是一味的解题，缺乏解题后的反思，容易掉进题海战术的漩涡，反而得不偿失.本文从一道高三期中考试题的解题过程出发，探究在数学学习过程中如何引导学生高效的复习，并重视反思的重要性，从而提高学生的数学思维意识，促进高中数学课堂教学的高效率.

关键词：数学解题；反思；数学思维

以题为镜，可以检验知识的掌握程度，解题后反思，以题为型，可以变化出众多问题，既反映了知识的探究程度，也能锻炼数学思维能力，这对培养学生的数学素养尤为重要。本文从一道考试题出发来阐述，敬请同行批评指正.

案例（苏州高三期中考试题）已知 ，则 的最小值为

本题考查在限制条件下，求分式的最值问题.对于此题，一般情况下是消元，将变量减少，转化为可以利用函数的知识解决问题.具体解答过程如下：

解：由 ，可得 ，又因为 ，所以

令 ，则本题目就转化为当 时，求 的最小值问题，我们可以利用导数的知识来求解.

当 时， ，则函数 在 上单调递减；当 时， ，则函数 在 上单调递增，故函数 在 时取得极小值并且也是最小值，计算得到 ，即分式 的最小值为 .

在有限时间的考试过程中，利用函数知识正确解答本题需要花费较多的时间，尤其是在求 的导函数过程中，鉴于学生的运算能力较弱，很容易出错，一旦中间出现错误，则本题就劳而无获了，甚是遗憾.为了能够让学生更容易做出此题，减少错误，从学生的最近发展区出发，有意识的引导学生进行反思，结合已有知识，能否从另外的角度去思考问题，这样有利于锻炼学生的发散思维能力.

本题的解答过程我们利用了函数的知识，结合已学的内容，我们也可以利用基本不等式来求最小值.基本不等式又称均值不等式，是高中数学的重要内容之一，也是每年高考数学考察的热点内容之一，在江苏高考中是C级要求.它的应用范围几乎涉及高中数学的每个章节，但是在实际应用上一般限定在求最值，判断、证明等.

（基本不等式）如果 ，那么 ，当且仅当 时等号成立.

对于本题我们利用基本不等式的解答如下：

由 ，可得 ，所以 ，观察这个分式的分母，结合已知条件，我们可以将分式变形为

此时发现，这个分式两个分母相加为一个常数，即由 ，则 ，原分式可变形为

当且仅当 时，等号成立.联立 ，可知 ，因此我们可以求出分式 的最小值为 .

利用基本不等式能够顺利的求解此种类型的最值问题，在解答过程中通过观察分母，发现两者相加等于一个常值，这样就能够充分利用“1”的妙处，恰到好处的转化为可以利用基本不等式求解问题.教学过程中学生可能会产生一个疑问，这样的解题方法能否成为同种类型题目的通性解法呢？我们可以及时给出两道同类型题目让学生自主思考和解答.

演练1 若 ，且 ，则使得 取得最小值时实数 的值为

演练2 已知 ，且 ，则 的最小值为

在配凑时要善于观察形式，结合已知条件和分式中的两个分母，学生通过系数的调整能够配凑出定值“1”.对于演练1，学生都能够构造出 ，而对于演练2，学生也都能够构造出 ，从而能够顺利完成这两道题的解答.

通过一题多解以及解题后的反思，不仅让学生学会了一种问题的考虑角度不同，解答方法也不尽相同，而且更重要的是让学生能够及时反思，并且通过反思带来学习的乐趣，增强了学习的信心.

在高中整个学习过程中，反思应该贯穿始终，只有经过自己不断地反思，学习效果才会高效率.我觉得反思应该从以下几个方面做起.

一、反思审题，正确认知

审题是解决一道问题的前提，只有对题目中的已知量，未知量心中有杆秤，才能下手.然而学生往往审题不仔细，就匆忙下手，结果可想而知，同时也反映出学生在学习过程中的心浮气躁的秉性.

比如，已知集合 ，若 中只有一个元素，求 的值.从考试解答情况来看，本题大部分同学的解答结果都是 ，同学们在解答的时候默认集合 中的元素就是一元二次方程 的根，殊不知当 时，它不再是一元二次方程，而是一元一次方程了，故要对 是否等于 进行讨论.

再比如，求函数 的定义域.这是一道常考题型，但学生的错误率还是极高，究其原因还是审题不清.学生都能够想到 ，但却忽略了对数的真数要大于 这个隐性条件.

由此可见数学审题在数学解题中处于一个非常重要的地位.这就要求我们老师在平时教学中要多花时间去引导学生进行审题方面的指导，面对问题要多问个为什么，这道题考察了什么知识点，有哪些需要注意的等等.这样操作不仅能够提高解题速度，更重要的是减少不必要的失分.

二、反思方法，破解定势

解题方法的选择是决定成败的关键.正确的选择方法，能够在最短的时间内，完成解题.选择的方法不当，则计算繁琐或者根本就解不出来.这在平时的教学中要适时的引导学生关注方法的选择.

比如，已知复数 的模为 ，求 的值.学生看到此题，由于思维定势的影响，往往是先把复数 化为代数式，即让这个分式的分子、分母同时乘以分母的共轭 ，但这样做，运算量很大，花费的时间也多，正确率也不高，所以要反思一下，方法是不是不对，有什么更好的方法呢？老师就要破解学生的思维定势，加以正确的引导.要求复数 的模，我们可以这样做： ，则 .

这样的例子还有很多，所以在解题中要对解题过程进行反思，从失败的教训中找出解答问题的利剑，对错误加以纠正，对提高学生对知识的把握能力有很大的进步.

三、反思拓展，锻炼思维

反思拓展顾名思义就是指在解题后，思考能否将题目中的条件适当的改变，以及改变后题目的解答方法是否与原题目有本质的區别与联系，或者会得到什么新的结果.这样通过反思发现规律，既拓展了知识的应用能力，又培养了学生的发散思维能力.

比如，当 时，求 的最小值，我们可以将其做以下几种变式练习.变式 、当 ，求 的最大值；变式 、当 ，求 的最小值；变式 、

当 ，求 的最小值；变式 、当 ，求 的最大值.通过对一道题目的深入的探究学习、变式练习，不仅让学生对基本不等式有了更深刻的理解，而且让学生感受到数学问题的活力四射，增强了学习数学的乐趣和动力.

总而言之，在平时的数学教学中，如果多重视些解题后的反思，对解题活动进一步构建，是进一步提高和升华的过程，对培养学生的数学思维力，提高数学学习意识有很大的益处，同时能够逐步培养学生独立思考、积极探究的习惯，并教会学生懂得如何学好数学，这是学好数学的必要条件.

参考文献：

[1]陈志江.反思，让错误回馈学习[J].中学数学月刊，2016（5）

[2]陆冬林.高三复习课的变式教学策略[J].中学数学研究，2015（4）

[3]陆燕.运用变式提升数学课堂的实效[J].中学数学月刊，2016（7）