多维立体式探究，让核心素养在课堂教学中落地生根

钱兆兰 刘德宏

探究式教学是新课标倡导的重要方式之一。课堂教学中，引导学生从多方向、多角度、多层次、全方位地开展立体式探究，可使数学学习真正发生，数学思维深度生长，核心素养落地生根。下面以《多边形的内角和》教学为例，谈谈小学数学多维立体探究式教学的实践与思考。

教学内容：

义务教育教科书四年级数学（上册）第96—97页。

教学目标：

1.通过观察、操作等具体活动，探索发现多边形的内角和与它的边数之间的关系，用自己能理解的方式表示所发现的规律。

2.经历探索多边形内角和的过程，积累探索和发现数学规律的经验，发展空间观念，培养动手操作能力和合情推理能力。

3.在参与探索活动的过程中，进一步产生对数学的好奇心，感受数学活动的挑战性和趣味性，增强学好数学的信心。

教学重点：

探索多边形内角和的规律。

教學难点：

借探索多边形内角和公式，获得规律探究的一般方法。

教学过程：

一、联系旧知，引入新课

师：同学们，图形是我们数学学习的重要内容，你知道哪些图形？

生：三角形、正方形、长方形……

师：大家说到的一些图形，我们用三角板就可以拼出来（课件逐个出示三角板拼成的部分实图：三角形、长方形、正方形、平行四边形、四边形、五边形……）给我们的三角板越多，拼成的图形形状也就越多（课件出示三角板实物隐退后的抽象图形）

指出：像这些由三条或三条以上的线段首尾相接围成的平面图形，它们有一个共同的名字，叫多边形。（板书：多边形）

师：三角形是最简单的多边形。（板书：三角形）

师：在多边形中我们已经知道三角形的内角和是180°，你想到什么新问题呢？

生：四边形、五边形、六边形等其他多边形的内角和又分别是多少度呢？

师：问题提得真好！是呀，四边形、五边形、六边形等其他多边形，它们的内角和又分别是多少度呢？这当中有没有什么规律呢？今天这节课我们一起来研究多边形的内角和。（完善板书：多边形的内角和）

【评析】学生已经知道三角形的内角和是180°，这是本课教学的知识生长点，“三角板拼图形”不仅让学生感悟图形之间的关系，更顺势引导学生联系旧知自主产生疑问，让学生从发现问题、提出问题开始走向规律的探究之旅，并为接下来的“四边形内角和探究”埋下伏笔。

二、引导参与，探究新知

1.多维探究，探索规律

师：老子说过“天下难事，必做于易”。 我们已经知道三角形的内角和是180°，下面让我们从四边形开始，展开对多边形内角和的研究。课件上正好有几个四边形，看着他们，你觉得他们的内角和是多少呢？

生：360°。

生：我也觉得是360°。

生：360°。

师：你是怎样想的？

生：正方形、长方形是四边形，四个角都是直角，4个90°是360°，那么，我想其他四边形的内角和也是360°。

生：我的想法和他一样。

师：我们可以确定正方形、长方形的内角和是360°（课件在正方形、长方形四个内角处添加直角符号），但其他四边形的内角和到底是不是360°呢？让我们小组合作开始探究。

探究活动一：小组合作，探究四边形的内角和是多少，初步感受分割法

师：请大家以小组为单位，选择方法来探究“四边形的内角和是不是360°”。

（课件出示活动要求： ①任选一个四边形作为研究对象，标出其所有内角；②小组商议，确定验证方法后动手实践；③操作完成后，推选代表准备发言交流。）

（学生分组探究活动）

师：下面请每个小组将本组的验证方法与结论和大家交流。

生：我们组用量角器分别量出4个角的度数后相加，发现四边形内角和是360°。

生：我们参考以前学习三角形内角和的方法，把四个角撕下来拼到一起，发现刚好拼成一个周角，我们认为四边形内角和是360°。

生：我们没有量也没有撕，我们小组从刚才用三角板拼图形得到启发，加了一条线把四边形分成两个三角形，再用 180°×2就得出我们这个四边形的内角和是360°了。

师：没有量也没有撕，只加一条线，听起来很简单，给大家具体说说。

生：（实物投影）从顶点到相对顶点连一条线将四边形分割成两个三角形，原来的四个内角被分割成了六个角，分别在两个三角形中，三角形的内角和是180°，再用180°×2就求出了四边形的内角和是360°了。

师：“求四边形的内角和”可以转化成“求两个三角形的内角和”（课件将学生展示的再逐步呈现），两个三角形六个内角的和就是四边形的内角和，分割、转化是我们学习数学知识时经常用到的重要的数学方法。

师：有结果不是360°的吗？

生：没有。（若有，关注方法及测量误差）

师：那还有不同证明方法吗？

生：没有了。

师：好，我们现在可以确认任意四边形的内角和都是 360°。（板书：四边形 360°）

师：量、撕、分割三种方法，你更喜欢哪种方法？

生：……

师：运用“分割法”将多边形分成几个三角形，几个三角形的内角和就是多边形内角和的方法较简单。

【评析】四边形的内角和是探究多边形内角和的第一层面纱，从“自然量”“ 按需撕”到“尝试分”是重要的思维跨越，给足时间、空间，引导学生数形结合，自主思考，小组合作探究，初步感知规律，渗透数学思想，发展思维。

探究活动二：引导多维思考，自主探究五边形、六边形的内角和，优化分割方法

（1）探究五边形的内角和。

师：下面请大家从材料袋中取出老师给大家准备的五边形，求出它的内角和。

生：自主操作。（师巡视）

汇报交流（实物投影）

生：我分割成了三个三角形（师引导生感受从任意一个顶点出发分割），180°×3=540°。

生：老师，我和他不同，我分成了四个三角形（师引导生感受从边上任意一点出发分割），180°×4=720°。

师：现在出现了两种结果，有没有和这两种都不一样的了？

生：没有了。

师：让我们分别请这两种结果的一位同学做代表，带着他们的图展示给大家看一下，请大家仔细观察，说说你的想法。

（投影展示，学生观察）

生：我认为720°的错了，他多算了角。

生：我也认为720°的错了。

师：他多算了哪里的角呢？（请生上来指一指）

师：是的，他多算了4个角，而且4个角的和正好是一个平角，那我们只要再用720°-180°就可以得出五边形的内角和是540°。（板书：五边形 540°）

师：分法不同，角的变化情况就不同，要灵活处理。

师：老师刚刚还看到有同学这样（课件或投影，师引导生感受从图形中间任一点到多边形顶点连线分割）将多边形分成了几个三角形，你们看，又该怎样处理呢？

生：他这样分成5个三角形也可以，但中间多出了一个周角，要用180°×5-360°=540°。

生：对，把中间多出来的角减掉。

师：分法不止一种，请仔细观察“从任意一个顶点出发分割”“ 从边上任意一点出发分割”“从图形中间任一点到多边形顶点连线分割”这三种分法，他们分别分了几次？五边形被分成了几个三角形？你觉得哪一种分法在算五边形内角和时更方便？（课件示图）

明确：从五边形任意一个顶点出发，分别与它不相邻的所有顶点（2个相对顶点）连线分最方便（不会产生新的角，只是将原来多边形的内角进行了分割）。

（2）探究六边形的内角和。

师：请你分一分，求出六边形的内角和。

生：自主连线分割，求六边形的内角和。

汇报交流并明确：

（课件出示图）从六边形任意一个顶点出发，分别与它不相邻的4个相对顶点连线，将六边形分割成4个三角形，则六边形的内角和是180°×4=720°。（板书：六边形 720°）

【评析】揭开四边形的内角和这第一层面纱后，鼓励学生自主迁移，从“任意一个顶点出发分割”“ 边上任意一点出发分割”“图形中间任一点出发分割”这三种分割方法重点对五边形的内角和展开多维立体探究，进一步渗透数学思想，发展思维，培养数学核心素养。

探究活动三：探究其他多边形的内角和，尝试发现规律并小结明确

师：让我们继续探究其他多边形的内角和。请同学们从材料袋中选一个或自己画一个多边形（六边形以上、小组内争取不同图形），求出它的内角和，并小组填写“表格一”。

生：自主探究填写。

汇报交流：（板书）

七边形 180°×5=900°

八边形 180°×6=1080°

……

师：大家通过分割又快又好地求出了这些多边形的内角和。接下来请大家再算算五十边形的内角和。

生：……（动手画，又放弃）

师：大家怎么不动手？

生：边数太多，不好画、分。

师：看来，碰上边数较多的图形，分一分还不是最好的方法，我们有必要来找找规律。请大家借助板书，小组完善“表格二”的填写（课件出示“表格二”）。

生：小组填写表格。

集体交流，完善课件表格填写。

师：难事做于易，更做于细，请大家仔细观察表格中相关数据，看看能发现什么，在小组里说一说。

生：观察，小组交流。

集体汇报交流：

（1）多边形的内角和与多边形的顶点个数有关。

n边形n个顶点，任意一个顶点有（n-3）个相对顶点，分（n-3）次，分成（n-3+1）个三角形，n边形内角和为（n-3+1）×180°；

（2）多边形的内角和与多边形的边数有关。

n邊形n条边，分成（n-2）个三角形，多边形内角和=（n-2）×180°

明确：

①（n-3+1）×180°=（n-2）×180°；

②我们一般用（多边形的边数-2）×180°来求多边形的内角和。（板书：多边形的内角和=（边数-2）×180°）

2.立体切换，多维沟通

师：用乘法分配律将多边形的内角和公式变一变，（边数-2）×180°=边数×180°-2×180°=边数×180°-360°（课件出示四边形分割配图），你又有什么新发现？

生：……

说明：

“从多边形中间任一点出发分割”比“从多边形任意一个顶点出发分割”总是多出一个周角，只要“边数×180°-360°”即可求出多边形的内角和。“ 从多边形边上任意一点出发分割”和它们相通， 只要“（边数-1）×180°-180°”即可，（边数-1）×180°-180°=边数×180°-360°。