谈数学中的“元”及其处理策略

☉浙江省三门县三门中学 方勇兵

解决数学问题的关键在于解题突破口的准确攫取，著名专家罗增儒教授所提出的“问题结构差异分析”着眼于问题条件和结论在结构上的差异并探寻一定的手段进行问题的解决.本文将问题中的“元”作为问题分析和解决的突破口进行了数学解题教学的一些思考.

一、“元”的概念

数学问题中的研究对象所包含的某个未知数或已知量、式子、基本图形单元等等是本文研究所特指的“元”.从其形式上来看，“元”有“数元”和“形元”之分，其中“数元”又包含未知“元”、常数“元”和式“元”这几种，而“形元”又包含点、直线、三角形等基本的图形.从“元”在问题中的地位来进行区分，“元”又有主元和非主元之分.本文所要研究的“元”主要是“数元”.

问题1 已知x∈［-1，1］时，x2+2a+1-a≤0，求a的取值范围.

问题2 已知a∈［-1，1］时，x2+2a+1-a≤0，求x的取值范围.

问题3 已知x、y为正数，x+y=xy，求xy的最大值.

x，y，a正是上述问题中的“数元”，其中，x和a分别是问题1中的“主元”和“非主元”，问题2相反.xy、x+y则是问题3中的“式元”.

二、“元”的常见分析与处理策略

如何对数学问题中的“元”进行分析和处理是解题的关键，其常见方法有以下几种.

1.消元

解决多元问题时常用的“消元法”是最为常见的一种方式.

例1 已知x、y是正实数，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.

解：由2x+8y-xy=0知因为x，y是正实数，所以y-2＞0，则x+y=+10=18，当且仅当y-2＞0，即y=6，x=12时，x+y有最小值18.

评注：问题在消元之后转化成了数学中的常见模型

例2 当S，t取遍所有实数时，求A=（S+5-3|cos t|）2+（S-2|sin t|）2的最小值.

评注：利用公式、定理等进行消元也是数学解题中常用的方法.

2.增元

寻找问题中量的本质联系还可以通过增设变量来实现，问题本质得以揭示的同时还能使运算更加简便.

例3 已知椭圆=1，直=1，点O为坐标原点，P为l上一点，射线OP交椭圆于点R，点Q在OP上并满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在l移动时点Q的轨迹方程如何？其轨迹为什么曲线？

图1

解：由已知|OQ|·|OP|=|OR|2，得（0，1），所以.由P、R位置关又点R在椭圆C上，点P在直线l上，将坐标代入椭圆和直线，得=λ，消去λ，化简得=1（其中x、y不同时为零）.

故Q点轨迹为以（1，1）为中心、长短半轴分别为且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点.

评注：比值的引入使得二次运算简化成了一次运算.

例4 已知x＜0，且

评注：未知数的值难求及形式复杂使得解方程与求值产生了困难，但问题中的关系因为增设元的行为得到了清晰的梳理.

3.换元

数学解题中最为常见的换元思想根据换元对象和方法的不同存在整体代换、三角代换、均值代换这几种不同的方法，问题的本质及其转化常常在换元中能够得到很好的揭示.

例5 解方程

解：令则原方程即即A2+B2+2AB-2（A+B）=0，所以（A+B）（A+B-2）=0，因为A≥0，B≥0，且A、B不同时为0，所以A+B＞0，且A+B-2=0，即A+B=2. ①

又易知A2-B2=2， ②

由①②，得A-B=1， ③

评注：考虑题中是关键量，利用它们可以来表示其他的量，这种关系通过整体换元而表现得更为明确，问题解决起来更加顺利.

例6 已知x、y、z为实数，且求证：x，y，z中必有两个互相相等.解： 设x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，则已知等式即为0，即tan（β-γ）+tan（γ-α）+tan（α-β）=0.因为（β-γ）+（γ-α）+（α-β）=0，所以tan（β-γ）·tan（γ-α）·tan（α-β）=tan（β-γ）+tan（γ-α）+tan（α-β）=0，即tan（β-γ）=0，tan（γ-α）=0，tan（α-β）=0必有一个成立，即β-γ=k1π，γ-α=k2π，α-β=k3π（k1，k2，k3，∈Z）必有一个成立，即tanβ=tanγ，tanγ=tanα，tanα=tanβ必有一个成立，所以x，y，z中必有两个相等.

评注：由题中式子特征与两角和正切公式具备一定的相似性联想三角代换法使得问题得以转化是换元法中一个比较典型的用法.

4.主元转换

解题过程中被予以特殊地位并被特别看重的某个“元”称之为“主元”，“主元法”的运用往往能够起到很好的解题效果.

例7 已知a，b，c，d满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.

解：由已知两式消去a，得（8-b-c-d-e）2+b2+c2+d2+e2=16，即2b2-2（8-c-d-e）b+（8-c-d-e）2+c2+d2+e2-16=0（以b为主元）.

因为b∈R，所以=（8-c-d-e）2-2［（8-c-d-e）2+c2+d2+e2-16］≥0，

即3c2-2（8-d-e）c+（8-d-e）2-2（16-d2-e2）≤0（以c为主元）.

因为c∈R，所以=（8-d-e）2-3［（8-d-e）2-2（16-d2-e2）］≥0，

即4d2-2（8-e）d+（8-e）2-3（16-e2）≤0（以d为主元）.

因为d∈R，所以=（8-e）2-4［（8-e）2-3（16-e2）］≥0，即5e2-16e≤0，所以0≤因此e的最大值为

评注：四个未知数在设定主元之前具有平等的地位，问题随着主元设置的变化也转变成了方程、不等式及函数等问题而得到有效解决.

5.非主元分离

“分离参数法”这一典型的非主元分离法在解题中的应用主要是为了将非主元的干扰进行一一的清除.

例8已知a＞0，且a≠1，0＜x＜1，判断|loga（1-x）|与|loga（1+x）|的大小.

故|loga（1-x）|＞|loga（1+x）|.

评注：分离参数a的运用使得对a的讨论得以规避.分离参数在解不等式恒成立等问题中也经常得到运用，此类问题往往因为构造函数并转化为函数最值问题得到很好的解决.H