基于随机利率与死亡率的顺位保险精算模型

李 浩，段鹏举，吴 月

顺位保险是一种需要考虑被保险人死亡次序的保险.根据保障时期进行分类，有终身顺位保险和定期顺位保险两种.从本质来划分，可分为先死赔付顺位保险与后死赔付顺位保险.随着社会的快速发展，人们的金融保险意识不断增强，保险公司会迅捷地捕捉潜在的保险需求，相应地推出新的保险产品.其中，家庭联合保险就是较为常见的一种顺位保险.较其他保险而言，一是家庭联合保险可以在家庭主要收入者发生保险事故后，避免家庭陷入经济窘境；二是可以通过将家庭中的两个及以上的成员作为联合被保险人，降低家庭中每个成员单独购买保险所需的保费支出.因此，顺位保险自从上市以来，备受青睐.由于家庭成员的构成与个体之间的关系，使得顺位保险的理论研究呈现出复杂的特点，对其研究也逐步成为保险精算领域的热点问题.

在寿险的价格厘定精算模型中，死亡率与利率是两个主要参数.在利率方面，国外Norberg R［1］通过假定利率为常数对一类联合寿险进行定价，在此基础上学者们进行了一系列拓展性研究.随着金融市场的不断完善，学者通过研究发现利率具有随机性，于是相关的理论工具被应用到寿险产品的定价中.王丽燕［2］等将随机利率的概念引入到家庭联合保险中，但没有给出刻画利率随机性的具体工具；东明［3］使用Wiener过程研究了随机利率下的联合寿险精算模型，给出了对利率过程和被保险人死亡时间进行随机模拟的算法，据此得到了保险金给付现值的经验分布，最后通过实例说明了上述研究结果的应用.但死亡率是另一个重要的参数，同样具有很强的随机性.在顺位保险中，各被保险人的生命体具有相互依存性，不是相互独立的.因此，赵丽霞［4］利用Copula函数、Common Shock模型描述家庭成员的寿命相关性，建立了随机利率与死亡率下的家庭联合寿险模型.本文在前人的基础上，采用Vasicek模型刻画利率的随机性，并假定死亡率服从Common Shock模型，对具有三元情形的顺位保险的精算现值进行了初步的探讨，得到了相应的解析式.

1 预备知识

Vasicek模型属于平衡模型，它源自对经济变量的一些假设，包含着短期利率r的一个过程，并产生了一个预期的期限结构，其形状依赖于参数和初始的短期利率.即可根据所求得的即期利率期限结构曲线求得相对应的远期利率的期限结构.

其中，δt为 (t,t+1)年的利息力；εt∼N(0,σ2)，且相互独立.由此可得如下引理：若δt服从Vasicek模型，则

引理1

引理2

由于利率具有一定的随机性，因此在下文中采用Vasicek模型对利率的期限结构加以刻画.

2 死亡率模型

2.1 精算假设

在顺位保险（如三口之家的家庭联合保险）中，家庭中的三位成员可能会因为某种特殊原因而同时死亡.因此，三者的剩余寿命对应的随机变量就具有一定的相关性，为此文献［5］中采用Common Shock模型刻画死亡率的随机性.为便于理解下文中出现的精算符号，现作如下介绍.记(x)为年龄为x岁的父亲，(y)为年龄为y岁的母亲，(z)为年龄为z岁的成年孩子；T(x)，T(y)，T(z)为三成员对应的剩余寿命；fT(t)为T(x)的概率密度函数；W是服从参数为λ的指数分布的随机变量，即W∼E(λ)；tpx为(x)在t年后生存的概率，μx+t为(x)在x+t岁时的死亡率，且.假设T*(x)，T*(y)，T*(z)，W相互独立，有T(x)=min{T*(x),W}，T(y)=min{T*(y),W}，T(z)=min{T*(z),W}.

2.2 三元生命函数

在顺位保险中，以常见的三口之家为例.承保对象为某家庭中的夫妻双方及已成年独生子女，共三人.保险责任规定为：在保险合同有效期内，家庭中有两者死亡，第三者获得保险公司赔付的保险金.若家庭中三位成员的生命均结束为止.即三元最后生存者状态，用表示.则

由概率的加法性质，可得

于是

3 顺位保险的寿险精算现值计算

根据精算等价原理，即纯保费与保额在保单生效时的精算现值相等.用表示顺位保险的精算现值，表示受益现值变量，则

相应地记为生存年金的精算现值，则有

于是对于完全连续场合均衡净保费，可将（3）（4）式子代入，得

最后，可得受益现值变量的方差为

通过对顺位保险的精算现值以及风险分析，得到相应的解析表达式，并将夫妻联合寿险等保险的二元情形，推广到更具一般性的三元及以上情形的顺位保险.

4 结论

随着社会的快速发展，顺位保险已成为保险市场的新产品.目前对家庭联合保险的研究越发完善，但对顺位保险的探讨还较少.本文在分别对死亡率和利率所建立的随机模型基础上，对具有三口之家的家庭顺位保险进行研究，得到其精算现值计算公式.为科学合理研究顺位保险提供了理论参考，有效度量保险公司开发顺位保险存在的利率与死亡风险，减少家庭主要成员因为突发事件引起的收入损失风险.

：

［1］Norberg R.Payment Measures，Interest，and Dis⁃counting：an Axiomatic Approach with Applications to Insur⁃ance［J］.Scandinavian Actuarial Journal，1990，52（1）：14-33.

［2］王丽燕，冯恩民.一种家庭联合保险的双随机模型［J］.工程数学学报，2003，20（8）：69-73.

［3］东明.随机利率下的联合寿险精算模型［J］.系统工程，2006，24（4）：68-72.

［4］赵丽霞.基于随机死亡率和多生命体相依的联合保险精算模型［J］.内蒙古师范大学学报，2014，43（4）：413-416.

［5］赵彦英，姚俭.利率模型为Vasicek模型的企业补充养老金计划精算模型［J］.上海理工大学学报，2005，27（3）：268-270.