关于辛李群若干性质的讨论

曾 辉，王 娜

辛几何作为广义Hamilton系统的理论基础，对研究Hamilton系统中的动力学性质起到了十分重要的作用，所以引起数学家、物理学家们的高度重视，并在八九十年代得到了快速发展，形成较为完整的理论体系.同时，辛几何与李群李代数、同调论、复变函数、微分方程等数学分支有着密切的联系.这也使得辛几何在数学领域具有广泛的发展前景.

近年来，国内外学者对辛几何问题展开了研究，并取得了大量的研究成果.2001年，在辛几何与泊松几何引论中，贺龙光［1］研究了辛流形上的向量场及其性质.Weinstein A［2］在辛流形上探讨了拉格朗日子流形问题.梅向明、贺龙光［3］在一般的实微分流形上引入一个正定、对称的二阶协变张量场，得到了黎曼流形.王宝勤等人［4］在辛流形理论基础上，进一步讨论了辛超流形上辛向量场的相关问题.2005年，赵丽［5］给出了辛李群的概念，并讨论了辛李群上的辛向量场的相关性质.2006年，胡月宏［6］进一步讨论了乘积辛李群及复辛李群的相关性质.辛李群作为李群和辛流形概念的一个自然推广，具有很多特殊性质.本文主要通过流形间的映射来讨论辛李群的相关性质，以期进一步丰富辛几何理论.

1 预备知识

定义1［6］设G是C∞-李群，ω∈Λ2(G)是G上闭的非退化的2-形式，则ω为G上的辛形式或辛结构，带有一个辛结构的李群称为辛李群，记为(G,ω).

定义2［6］设 (M,ωM)，(N,ωN)是辛李群，辛映射ϕ:(M,ωM)→(N,ωN)是李群同态，则称ϕ为从(M,ωM)到(N,ωN)的辛李群同态，如果ϕ还是李群同构，则称ϕ是辛李群同构.

定义3［6］辛李群(M,ωM)的左不变向量场X，若满足LXωM=0,则称X是(M,ωM)的辛左不变向量场.

引理1［6］设(M,ω)是辛流形，N是光滑流形，ϕ:M→N是微分同胚，则(N,(ϕ*)-1ω)也是辛流形.

引理2［6］设 (M,ω)是辛流形，N,H均为光滑流形，ϕ:M→N，ψ:N→H均为微分同胚，则为辛流形.

引理3［2］若给定一李群M，则

（1）存在唯一的单连通李群M~（它局部同构于M）；

（2）覆盖映射ϕ:M~→M，同时是一个李群同态和局部李群同构.

2 主要结论

定理1 设(M,ω)是辛李群，N是光滑流形，ϕ:M→N是微分同胚，则从M到N诱导出一个群结构 {N,∘}，使得 (N,(ϕ*)-1ω)是一辛李群，并且M与N在ϕ下是辛李群同构.

证明 由引理1知(N,(ϕ*)-1ω)是辛流形，又知ϕ是辛映射.下面只需证明从M到N可诱导出一个群结构{N,∘}，使{N,∘}成为一李群，并且M与N在ϕ下李群同构即可.

规定e′=ϕ(e)为N中单位元，∀aˉ∈N,定义ˉ的逆元为 (，定义N中乘法 ∘为：

封闭性：由M中 乘 法 的 封 闭 性 知于 是 ，

结合性：由ϕ是微分同胚知，∃a,b,c∈M，使得于是，从而由M中乘法结合性知ϕ((a·b)·c)=ϕ(a·(b·c)),从而有， 又 ∀aˉ∈N，aˉ∘(aˉ)-1=从而上述取逆运算的定义是合理的.因此，N在乘法下∘构成一个群.

下证取逆运算，乘法运算均光滑.

（1）取逆光滑.记k:M→M为M中取逆映射，即k(a)=a-1,则k光滑，设为N中取 逆 映 射 ，则又，由ϕ,k,ϕ-1均光滑，知kˉ光滑.

（2）乘法光滑.记h:M×M→M为M上乘法运算，∀a,b∈M,h(a,b)=a·b,则h是光滑的，hˉ:N×N→N为N上乘法运算，即hˉ(aˉ,bˉ)=aˉ∘bˉ,由ϕ,h,ϕ-1的光滑性知是光滑的，从而 (N,∘)为一李群，(N,(ϕ*)-1ω)为辛李群.

（3）由N中乘法的定义，易见ϕ是李群同构，从而ϕ：(M,ω)→(N,(ϕ*)-1ω)是辛李群同构.

定理2 设(M,ω)是辛李群，N,H均为光滑流形，ϕ:M→N，ψ:N→H均为微分同胚，则为辛李群.

证明ψ∘ϕ:M→H为辛李群M到光滑流形H的微分同胚，由定理1知，可在H上引入李群结构，使成为辛李群.

定理3 设ϕ:M→N是流形间的C∞-映射，则 ∀X∈χ(M)，∀ω∈Λ(N)，有iX∘φ*(ω)=φ*∘iφ*(X)ω，即有iX∘ϕ*=ϕ*∘iϕ*(X).

证明 当ω=f∈Λ0(N)时，iX∘φ*ω=iX∘φ*f=iX(f∘φ)=0 ，φ*∘iφ*(X)ω=φ*(iφ*(X)f)=φ*(0)=0 ；当ω∈Λ1(N)时，iX∘φ*ω=φ*ω(X)=ω( )φ*(X) ∘φ=φ*(ω(φ*(X)) )=φ*∘iφ*(X)ω；当ω∈ Λk(N)(2≤k≤dimN)时，∀Z1,Z2,…,Zk-1∈χ(M)，则iX∘φ*ω(Z1,…,Zk-1)=φ*ω(X,Z1,…,Zk-1)=ω(φ*(X),φ*(Z1),…,φ*(Zk-1))=iφ*(X)ω(φ*(Z1) ，… ，φ*(Zk-1))=φ*∘iφ*(X)ω(Z1,…,Zk-1).此即iX∘ϕ*=ϕ*∘iϕ*(X).

定理4 设ϕ:M→N是流形间的光滑映射，∀X∈χ(M)，∀ω∈Λ(N)，则LXφ*(ω)=φ*∘Lφ*(X)ω，即LX∘φ*=φ*∘Lφ*(X).

证明 由定理3知，iX∘ϕ*=ϕ*∘iϕ*(X)，于是对于∀ω∈Λ(N)有

即LX∘ϕ*=ϕ*∘Lϕ*(X).

推论1 设ϕ:(M,ωM)→(N,ωN)是辛流形间的局部辛微分同胚，则ϕ*把M上的辛向量场映为N上的辛向量场.

证明 由ϕ是局部辛微分同胚知，φ*(ωN)=ωM，且 kerφ*=0 ，于 是 ∀X∈S(M,ωM)有LXωM=0,又由定理 4，LX∘ϕ*=ϕ*∘Lϕ*(X)，故LXωM=LXϕ*(ωN)=ϕ*∘Lϕ*(X)ωN=0,又 kerφ*=0 ，从而Lϕ*(X)ωN=0,即ϕ*(X)∈S(N,ωN).

定义4 设(M,ωM)和(N,ωN)是辛李群，辛映射ϕ:(M,ωM)→(N,ωN)是局部李群同态，则称ϕ是从(M,ωM)到(N,ωN)的局部辛李群同态，如果ϕ还是局部李群同构，则称ϕ是局部辛李群同构.

推论2 设ϕ:(M,ωM)→(N,ωN)是辛李群同态，又是局部辛李群同构，则ϕ*把辛向量场映为辛向量场，把左不变向量场映为左不变向量场，从而把辛左不变向量场映为辛左不变向量场.

证明 由推论1知，只需证ϕ*把左不变向量场映为左不变向量场.任取M上的左不变向量场X，有 (lσ)*(X)=X,(∀σ∈M).则由ϕ是辛李群同态有φ∘lσ=lφ(σ)∘φ，从而

即ϕ*(X)是N上左不变向量场.

定理5 设(M,ω)是一辛李群，则必存在单连通的辛李群连通的辛李群（其中，使得覆盖映射→(M,ω)是辛李群同态和局部辛李群同构.

证明 由引理3知，存在唯一的单连通李群，使得覆盖映射ϕ:→M是李群同态和局部李群同构，又(ϕ-1)*(ω~)=(ϕ*)-1∘ϕ*(ω)=ω知ϕ为辛映射，因此只需证明=ϕ*(ω)是上的闭的、非退化的2-形式即可.

由 于即为闭的2-形式.∀p∈,下证 ker=0.由于有

由于ϕ是覆盖映射，从而ϕ是局部微分同胚，从而ϕ*是同构，于是由的任意性知，可充满Tϕ(p)(M)，又由ω的非退化性知而ϕ*是 同 构 ，于 是 有从而 ker=0 ，即是非退化的.

3 结语

本文讨论了辛映射、微分同胚对辛李群及其辛向量场的作用，得到了一系列较好的结果，但还有很多问题有待进一步研究，如辛李群子群问题、群胚问题以及其上的Casimir函数问题等.

：

［1］贺龙光.辛几何与泊松几何引论［M］.北京：首都师范大学出版社，2001.

［2］Weinstein A.Symplectic manifolds and their La⁃grange submanifolds［J］.Adv in Math，1971（6）：329-346.

［3］梅向明，贺龙光.微分流形与黎曼几何［M］.北京：北京师范学院出版社，1987.

［4］王宝勤，曾辉.有关两类辛超流形上的辛向量场［J］.数学物理学报，2011，31（3）：845-855.

［5］赵丽，曾辉，王宝勤.有关辛李群［J］.新疆师范大学学报，2005，24（2）：1-3.

［6］胡月宏.有关辛李群和微分动力系统的讨论［D］.新疆：新疆师范大学，2006.