抓住特征突破圆锥曲线常见问题探讨

2018-05-22曹烨

成才之路 2018年8期

关键词：圆锥曲线解决策略常见问题

曹烨

摘要：圆锥曲线有中点弦问题、焦点三角形问题以及对于直线与圆锥曲线位置和圆锥曲线的最值问题等几种特定的题型。在数学教学中，教师可根据几何图形、曲线方程和韦达定理等作为突破口，抓住特征突破圆锥曲线的常见问题。

关键词：高中数学；圆锥曲线；常见问题；解决策略

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2018）08-0078-01

圆锥曲线有中点弦问题、焦点三角形问题以及直线与圆锥曲线位置和圆锥曲线的最值问题等几种特定的题型，教师可以将几何图形、曲线方程和韦达定理等作为突破口，抓住特征突破一部分圆锥曲线的常见问题。通常针对圆锥曲线的这些问题，可以有以下三种解题思路。

一、借用图像，理解最值问题

在解决圆锥曲线的一些常见问题时，如果能把握题目的特点，充分利用好几何图形的一些特点和性质，把握好在学习几何图形时所运用的一些规律和结论，往往能够很大程度地节省运算量，减少解题时间。在圆锥曲线解析几何中，所要进行的研究对象大多是几何图形或是几何图形的一些性质，所以教师在引导学生处理这一类型题目的时候，除了要他们把握和运用好代数方程之外，还要充分挖掘数学圆锥曲线中所学习的几何图形的性质和特点。在关于圆锥曲线中借助几何图形来解决最值问题的教学设计中，可以给出这样一道题：所给抛物线y2=2px（p>0），如果说过M（a，0）且斜率为1的直线l与抛物线交于A点和B点，两点不重合，|AB|≤2p，求解a的取值范围；假设线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。这种题型往往在高考解答题中出现，在引导学生解答的时候，要给他们讲解同种类型题目的解题思路。对于这种题目，首先要设法得到一个所需要的不等式，然后對于不等式去求解范围，总结起来就是“求范围，找不等式”。另一种方法就是将其表示为另一个变量的函数，利用函数问题算出所求的范围，接着将△NAB的面积表示为一个变量的函数，进一步求它的最大值。

二、待定系数，解决方程问题

在求曲线方程的时候，有的时候学生可以根据所给已知条件很直观地就判断出所描述的是圆锥曲线中的哪一种图形。对于这种学生能够判断曲线的形状的方程式，教师可以引导学生使用待定系数的方法进行解决。这样基础的解决圆锥曲线系列问题的解决方法，需要学生在学习的过程中掌握好每一种类型几何图形的基本概念和基本公式，对于一些基础的题型能够有入手的解题思路，能够掌握圆锥曲线相关的轨迹方程的解题方法和解决直线与圆锥曲线两者之间的位置关系等一些常见的问题。在解关于圆锥曲线中方程问题时要运用待定系数的方法，可以给出这样的例题：已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。如果说点A（-1，0）和点B（0，8）关于l的对称点都在C上，求解直线l和抛物线C的方程。在解答的时候，要先引导学生设出抛物线的标准方程和直线l的方程，又因为A'、B'分别是A、B关于l的对称点，所以能得到A'A⊥l，从而设出直线A'A的方程，利用两直线方程联立求得交点M的坐标。因为M为AA'的中点，求得A'点的坐标和B'的坐标，将它们代入抛物线方程求得p的表达式，接着联立方程，可以得到斜率k，进一步求得p，直线和抛物线的方程也就呼之欲出。这样就巧妙地得到了所求的圆锥曲线的方程式，这种方法同理也适用于同类型的其他题目。

三、韦达定理，判定对称问题

解决圆锥曲线相关问题的时候，学生往往最头疼的就是如果解题方法使用不正确或者没有选用较为简便的解题思路，常常计算量特别大，虽然说有的时候能够将题目解出来，但是在考试中这种方式并不可取，费时费力。因此，在圆锥曲线的解题策略中可以巧妙地使用韦达定理来减少计算量。教师在引导学生充分使用韦达定理的时候，需要注意这种方法一般适用的情况，对于利用韦达定理解题的策略就是在题目中满足可以设出弦的两个端点但是并不要求来求解它，这样就可以结合以前学过的韦达定理。韦达定理在圆锥曲线的应用一般是判断几何图形对称性的问题，此外还常常用于求解斜率和中点等问题中。在给学生讲解这种类型题目时，可以给出这样的题目来帮助他们更好地理解和掌握这部分知识点：已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=，那么求解这个椭圆的方程。这道题目主要是针对学生们对于椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数之间的关系的掌握。在设出椭圆方程后，整理方程组能够得出（x1+x2）+2x1x2+1=0和4（x1+x2）2-16x1x2-5=0，然后利用韦达定理进行方程组的化解和求解能够得到a2=2，b2=或a2=，b2=2，这样就巧妙地得到了所求的圆锥曲线的方程。