浅析三阶行列式

摘要：行列式是线性代数课程中重要的基础知识。文章针对高职院校工程数学中线性代数模块的三阶行列式展开分析讨论，揭示三阶行列式在行列式知识点的学习中的重要地位，突出三阶行列式的基础性和重要性。三阶行列式是学习高阶行列式的桥梁，是高阶行列式的基础和奠基石。

关键词：行列式；代数课程；基础知识

为求解工程技术运用领域和经济活动中的线性方程组问题，必须学习行列式和矩阵基本知识。行列式是学习矩阵的基础，也是研究矩阵最有效的工具之一。行列式和矩阵是为求解线性方程组的基础准备知识也是必备知识。

行列式是解线性方程组的基础必备知识，也是线性代数模块中最基础的知识。二阶、三阶行列式是用来解二元、三元线性方程组，方程组的解可以用系数和常数项表示出来，很直接方便。学习三阶行列式是为高阶行列式做准备的。利用高阶行列式求解多元线性方程组，是我们学习行列式的最终目的。

高阶行列式的求解，通常采用的方法是运用行列式的性质和代数余子式等知识将高阶转化为低一阶或者低几阶的行列式来求解。三阶行列式是高阶行列式存在的基础，是为更好地理解掌握高阶行列式而存在的。

一、 三阶行列式的特点

1. 定义

三阶行列式是将32个数排列成3行3列，横排称为行，竖排称为列，并在左右两边各加一竖线的算式，它表示由一个确定的运算关系所得到的一个数值。三阶行列式是比较简单的行列式，三阶行列式是学好高阶行列式的基础，是求解高阶行列式的敲门砖。

2. 计算方法

为加强记忆这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号。这种方法有个特点就是每一项的乘积元素都来自不同的行和列：同一行的两个元素和同一列的两个元素不可能同时出现在一个乘积项里。

计算三阶行列式还可以用行列式中任意一行所有元素与其对应的代数余子式乘积之和求得，也可以选取行列式中一列所有元素与其对应的代数余子式乘积之和而得到。运用这种方法求解行列式的值时，要选取零元素最多的行或列，这样含零的项多，计算的过程就最简单最便捷。

计算三阶行列式还可以利用行列式的性质，通过对行列式进行同等变形求得行列式的值。这种方法关键在于仔细观察行列式的特征选取最适合的性质来进行变形，是最常用的方法，也是最普遍的计算行列式的方法。在以后要学习到的高阶行列式的计算中，也经常采用行列式的性质变形这种方法来求行列式的值。

在计算行列式时，根据题目特征选取合适和最为快捷的方法，多做多练才能熟练掌握计算行列式的方法和技巧，才能选择出最佳方法求解行列式的值。

二、 三阶行列式的地位和作用

1. 三阶行列式与二阶行列式

二阶行列式是最简单的行列式，它的计算也很简单，就等于主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。

三阶行列式较二阶行列式稍复杂一些，從表达式来看，虽然只比二阶行列式多了5个元素，但其计算过程比二阶行列式复杂很多，计算三阶行列式的方法也较二阶行列式多：六项代数和法、代数余子式和直接利用行列式的性质，或者结合行列式的性质再用代数余子式的方法。计算行列式的方法可以选取或者综合运用，只要能最快最准地求出行列式值都是好方法。

2. 三阶行列式与高阶行列式

这里讨论的高阶行列式是四阶及四阶以上的行列式。计算高阶行列式时，同样可以用代数和法，只是过程复杂一些，不同的阶数代数和中每一项的项数也不同。运用行列式的性质求高阶行列式的值是求解高阶行列式最常用的方法，一般求解思路是运用行列式的性质先把高阶行列式化为上三角形行列式，再根据上三角形行列式的特点，主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值。遇到高阶行列式中零比较多的情况，则选用零元素比较多的一行或者一列，这一行或者列的元素与其对应的代数余子式乘积之和就是高阶行列式的值。

三阶行列式比其他高阶行列式阶数低，表达较为简单，因此在学习行列式相关的性质和计算方法时通常是从三阶行列式入手，从而推广到更高阶，这一过程遵循了客观的学习规律：从简单到复杂，从浅显易懂到高深深奥。

三阶行列式是学习和理解以及求解高阶行列式的敲门砖，只有熟悉掌握了三阶行列式才能更好地学习求解高阶行列式。对于n阶行列式的求解，通常在于分析理解得出规律，只有在熟练掌握三阶行列式，熟悉行列式的性质的基础上才能准确得出n阶行列式的规律，从而求解最后的值。

三、 教学结论

线性代数是研究多元和变元的线性问题，研究线性方程组解得存在条件、解的结构以及解的求法的一门数学课程。行列式是线性代数中最基本的概念和理论，是矩阵的预备知识也是研究矩阵的一种有效工具，也是求解线性方程组最基本的方法。为解决涉及多元线性方面的经济和生活问题，需要运用行列式来分析求解。

三阶行列式培养了求解线性方程组的基本思想和基本方法，将三阶行列式的思想和方法应用到多元线性方程组的求解中，是三阶行列式存在的意义和使命。

本文从最简单的二阶行列式开始剖析三阶行列式在行列式中的重要地位和作用。三阶行列式是二阶行列式的延伸，是高阶行列式的起点，是求解高阶行列式的突破口和基础起始点。理解掌握三阶行列式并运用三阶行列式的思想方法求解高阶行列式，从而解决工程、科学、经济和生活中疑难线性方面的问题，才是行列式最终的学习目的。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988.

[2]浦奎源，颜军，阴文革.线性代数[M].重庆：重庆大学出版社，2000.

[3]刘吉佑，徐诚浩.线性代数（经管类）[M].武汉：武汉大学出版社，2006.

[4]李宏平，廖仲春.应用数学[M].长沙：湖南大学出版社，2010.

作者简介：

张春红，湖南省长沙市，湖南科技职业学院。