期初年金方程a··ni=k的迭代解法

摘要：本文讨论了n期标准期初年金方程的Newton迭代解法，并提出了改进的迭代格式。

关键词：年金方程;利率;Newton迭代法;数形结合;拐点

期初年金方程a··ni=k的迭代解法

一、 传统的Newton法求解a··ni=k

（一） Newton法迭代格式的构造

n期标准期初年金是指每次的年金金额为1个货币单位，在合同生效时立即发生首次的现金流，共计n次。一般用记号a··ni表示利率为i的n期标准期初年金的现值，a··ni的基本计算公式：a··ni=（1+i）1-（1+i）-ni，（1）

当已知a··ni=k时，可以利用Newton法[2]构造迭代格式进行求解，其迭代格式为：

is+1=is1-（1+is）1-（1+is）-n-kis（1+is）-n（1+nis）-1（2）

（二） Newton法迭代初值的選取

式（1）中的（1+i）-n乘以（1+i）后，对其进行带有佩亚诺型余项的Taylor公式展开可以得到：

（1+i）-n+1=1+（-n+1）i+（-n+1）（-n）2！i2+…+（-n+1）（-n）…（-n-m+2）m！im+o（im）（3）

用式（3）右端的前3项近似（1+i）-n+1，即：（1+i）-n+1≈1+（-n+1）i+（-n+1）（-n）2！i2（4）。将式（4）代入（1）式中，并令a··ni=k，得到i=2（n-k）n（n-1）。于是，本文得到了利用Taylor公式方法下的迭代初值i0=2（n-k）n（n-1）（5）。

（二） 改进的Newton法求解a··ni=k

按照传统的Newton法得到的迭代格式（2），从形式上看较为复杂，本文将通过对Newton法进行相应的改进得到更优的迭代格式。

由a··ni=k可以得到（1+i）1-（1+i）-ni=k（6），对式（6）进行变形，易得：

（k-1）i-1（1+i）n-1+1=0（i>0，n∈Z+），

设f（i）=（k-1）i-1（1+i）n-1+1（i>0，n∈Z+），则期初年金方程a··ni=k的求解就转化为方程f（i）=0的求根问题。当n=1，2时，方程f（i）=0是一次或二次方程，利用求根公式易得其解，本文此处不再赘述。本文主要考虑n>2时的情况，由a··ni=k易知k>1且k

f（i）=（k-1）i-1（1+i）n-1+1（7）

satisfyi>0n>2k>1k

探究f（i）的代数与几何性质

对式（7）进行求导，可以得到：f′（i）=（k-1）（1+i）n-1+（n-1）（1+i）n-2（k-1）i-1=（1+i）n-2[i（k-1）n+k-n]（9）

由式（9）可以得到f（i）的一阶零点i′0=n-kn（k-1），由条件（8）易知i′0>0。当ii′0时，f′（i）>0。所以f（i）在（0，i′0）范围内单调递减，在（i′0，+∞）范围内单调递增，且f（i）在i=i′0处取到最小值f（i′0）。对式（9）进行求导，可以得到：f″（i）=（n-2）（1+i）n-3[i（k-1）n+k-n]+（1+i）n-2（k-1）n=（1+i）n-3[in（n-1）（k-1）+（-n2+2kn-2k+n）]（10）

由式（10）可以得到f（i）的拐点（即二阶零点）i″0=n-2kn（k-1），易知i″0i″0时，f″（i）>0。所以在没有i>0这一约束条件下，f（i）在（-∞，i″0）范围内是凹向原点的，在（i″0，+∞）范围内是凸向原点的。

在考虑i>0这一约束条件下，本文继续深入分析f（i）不存在拐点与存在拐点情况下f（i）的代数与几何性质。（1）当f（i）不存在拐点i″0=n-2kn（k-1）≤0时，即n≤2k。

令g1（i）=（1+i）n-3，g2（i）=in（n-1）（k-1）+（-n2+2kn-2k+n），则有f″（i）=g1（i）·g2（i）。易知g2（i）中的-n2+2kn-2k+n=（2k-n）（n-1）≥0，所以g2（i）>0。又因为g1（i），g2（i）是增函数且g1（i）>0，g2（i）>0，所以f″（i）是增函数。取迭代初值i0=2i′0=2（n-k）n（k-1），根据带有拉格朗日型余项的Taylor公式[4]易知存在ξ1∈（i′0，2i′0）以及ξ2∈（0，i′0）使得：f（i0）=f（i′0+i′0）=f（i′0）+f′（i′0）i′0+f″（ξ1）2！i2′0;f（0）=f（i′0-i′0）=f（i′0）+f′（i′0）（-i′0）+f″（ξ2）2！（-）2。由于i′0是f（i）的一阶零点、f″（ξ1）>f″（ξ2），易知f（i0）>f（0）=0。

（2）当f（i）存在拐点i″0=n-2kn（k-1）>0时，即n>2k。

取迭代初值i0=2i′0=2（n-k）n（k-1），根据带有拉格朗日型余项的Taylor公式易知存在η1∈（i′0，2i′0）以及η2∈（0，i′0）使得：f（i0）=f（i′0+i′0）=f（i′0）+f′（i′0）i′0+f″（η1）2！i′02;f（0）=f（i′0-i′0）=f（i′0）+f′（i′0）（-i′0）+f″（η2）2！（-）2。（11）

由于i′0是f（i）的一阶零点，且η1∈（i′0，2i′0），有η1>i″0，所以f″（η1）>0。

当η2∈（0，i″0]（0，i′0）时，有f″（η2）≤0，因而有f（i0）>f（0）=0，

参考文献：

[1] 吴岚，黄海，何洋波.金融数学引论[M].2版.北京：北京大学出版社，2013：34-35.

[2] 丁丽娟，程杞元.数值计算方法[M].北京：高等教育出版社，2011：273-275.

作者简介：孙紫仪，四川省绵阳市，西南科技大学理学院。