数形结合走出数学的迷宫

摘 要：数形结合思想是数学思想方法中应用最为广泛，地位最为重要的方法之一。“数”与“形”是贯穿高中数学教材的两条主线，数形结合思想在高中数学教学实践中发挥出了不可替代的作用。

关键词：高中数学；数形结合；教学实践

数学是一门研究空间形式和数量关系的科学，是一种体现自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。解决实际问题是我们学习数学的目的，也是数学应用的实际归属所在，而思想指导行动，数学的思维和方法就是我们数学教学和学习的灵魂所在，是我们教师应该在教学实践中研究和探讨的重点。

一、 数形结合思想概述

我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”。数形结合的数学思维和方法十分普遍和广泛地应用在数学解题中，某些抽象的数学问题可以通过数形结合思想的转化而变得更加形象化、生动化、直观化，能够把数学问题中的抽象思维转变为形象思维，从而帮助我们准确地找到并掌握数学问题的本质。数形结合思想使“形”和“数”联系起来，以数助形，以形助数，即数是形的抽象概括，形是数的直观表现，从不同角度呈现了数学知识，同时又灵活地解决了高中数学中的诸多问题，因而在高中数学教学实践中得到了广泛运用和有效体现。

二、 数形结合思想的具体应用

（一） 以数助形

在揭示图形的某些属性时，我们可以借助于数的规范性、精确性、严密性来帮助我们形象直观地发现图形属性的目的，就是把图形作为解决问题的目的，把数量当作问题解决的手段。把数学中的图形问题有效地转化为数量问题的重要条件是对图形问题进行量化，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

由此可见，图形不可脱离数量关系而单独存在，两者是相互依存、互为前提、相互结合、共同促进数学题目解决的。在以数助形的问题中几种常见的方式如下所列：一是把数量关系的运算结果跟几何定理相结合，数形结合解决几何问题。二是把几何问题中的轨迹运动时所遵循的数量关系与具体的图形运动轨迹相结合。在我们解决高考数学以及其他常用的数学问题时，特别是在解选择题、填空题时，数形结合的数学思想都发挥出了独特的作用，帮助我们快速理解和有效解决这些数学问题，是数学问题中一种常见的解题方法。数形结合思想在解决数学问题中的重要地位和作用，要求我们在平时的数学教学和学习中，加强对于学生在数形结合这方面的数学思想和思维方法的训练，这样就可以有效提高学生的解题能力和速度。同时，如果我们在数学解题中能够很好的根据问题的特点和需要来选择合适的解题方法，就可以使复杂的数学问题简单化，抽象的数学思维具体化，从而达到优化解题途径和有效解决数学问题的目的。

（二） 以形助数

以形助数也是数形结合思想在解决数学问题中的一种应用和体现，在阐明数量之间的关系时可以借助于图形的直观性、形象性和生动性来体现，即以图形作为解题手段，把数量作为解题目的。比如在教学实践中，我们可以运用函数的图像来直观地说明函数的性质。

除了二次函数以外，数形结合思想在数学教学的其他部分也体现出了重要的作用，包括数形结合方法在三角函数、三角公式、直线与圆锥曲线、向量、解方程（不等式）、求函数值域等教学中的应用。数形结合思想中的“以形助数”常常在以下几种问题中得到具体运用：（1）在函数问题中，结合函数图像来构建函数模型，来解决量与量之间的大小关系问题、求出方程根的范围、参数的取值范围、解决函数的最值问题和证明不等式。（2）在立体几何问题中，结合数量关系与立体几何模型的构建来研究图形的性质、形状、位置关系等，以及解决代数问题；（3）在解析几何问题中，研究最值问题时可通过构建解析几何中的截距、距离、斜率等数学模型；（4）在方程问题中，求根的个数时可以借助于构建方程模型来解决；另外，因為将数量问题图形化是把数量关系转化为图形问题的重要条件，所以我们在研究把数量关系图形化的问题时，熟练掌握数形结合思想和方法，对提高数学解题能力是相当有必要的。

三、 总结反思

以数助形，以形助数，熟练掌握数形结合思想，并在恰当的时候灵活运用，适时转化，使数与形相结合，具体与抽象相结合，就能帮助学生在解题时开阔思路，找对方法，快速解题，加强理解。当前我国的高中数学教育实践仍处于一个改革和探索的阶段，由于大多数教育学者过于关注数学的理论和方法，从而导致理论与实践之间存在着一定的隔阂。数形结合思想虽然并不一定是最完美、最简便、最快捷、最有效的解题方法，但是它在帮助学生转换数学思维方式、培养数学思维能力、养成数学思维习惯等方面起到不容忽视的作用。它为高中数学的知识讲解提供了一个新的思路和新的方向，我们需要在今后的教育教学工作中不断进行科学探索，不断提升自我的素养和能力，以科学的思维和方法正确的指引学生，以数形结合思想的智慧光芒带领学生走出高中数学的思维迷宫。

参考文献：

[1]张宗雄.高考数学复习策略研究[J].新课程（下），2017（06）：31.

[2]张先龙，邓军民.高考全国卷背景下的数学复习策略刍议[J].课程教学研究，2016（03）：45-47.

作者简介：

朱伦，山东省日照市，五莲县第一中学。