借助一题多解促进思维发展

鲍远春

【摘要】本文首先阐述了思维、思维品质及数学解题的含义，然后通过两个教学实例，揭示一题多解在促进思维发展方面的具体做法，为进行类似教学提供示范，并进行教学反思.

【关键词】数学；一题多解；思维

作为新课程改革的实践者，我们应该怎样更好地让学生掌握知识和技能，提高他们的创新思维能力？这是每位教师始终应该思考的问题.数学教学离不开解题，我们认为，精心地选择典型例习题，适当地寻求一题多解，不失为培养学生数学思维的发散性、创造性，提高学生思维品质的有效途径.

一、相关概念的含义

心理学认为，思维是人脑借助语言对客观事物本质属性及规律的概括和间接的反应过程，思维的品质包括思维的广阔性、思维的批判性、思维的深刻性、思维的灵活性、思维的敏捷性.“数学是思维的体操”，数和形的种种内在联系和相互关系，特别是它们的本质属性和科学规律，仅仅依靠感觉、知觉或表象是难以认识的，只有通过有效思维才能达到深刻理解、牢固掌握和有效应用.所以，数学教学本质上是数学思维的教学，促进学生的思维，提高其思维品质是数学教学始终应追求的目标.

数学解题过程是一个自觉、积极、富有创造性的动态思维过程，选择不同的思维起点，沿着不同的方向寻求解题方法，最终产生多种可能答案的思维方式就是发散性思维，它是创造性思维的主要形式.在解题过程中，适当地、有意识地尝试一题多解，通过一题多解，引导学生从不同角度、不同侧面，用不同的观点分析、思考同一个数学问题，可以有效促进思维的广阔性、变通性和灵活性，从而提高学生们的探索能力和创新能力.

二、两个教学实例

例1 一道课堂例题（人教A版选修4-1第21页第7题）：

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，延长BC到D，使得CD=BC.过C作CE⊥BC，交AD于E.连接AC，交BE于F.求证：AF=CF.

本题是教材上的一道习题，课堂上讲解时我鼓励学生积极思考，大胆探索，从不同的角度进行思考.学生的思维积极性很快被充分调动起来，纷纷主动发言，交流自己的见解和思路.学生探讨出了近十种做法（其中有些做法有部分相同之处），尤其是一名学生说出证法六时，如此简洁、直接的证明，获得了全班热烈的掌声.下面给出一些解题思路.

生1认为可以通过构造平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分的性质进行证明.

证法一 过A作AH⊥BC于H，交BF于G，连接CG.

因为△ABC中，AB=AC，

所以CH=12BC.

因为CE∥AH，

所以CEAH=23，GHCE=12，所以AG=CE.

所以四边形AGCE是平行四边形，所以AF=CF.

生1是借助“一组对边平行且相等”得出了平行四边形的结论，生2提出还可以借助“两组对边分别平行”来说明“四边形AGCE是平行四边形”，得到了证法二：

證法二 辅助线同证法一.

显然，AH是线段BC的中垂线，EC是线段BD的中垂线，

所以GB=GC，EB=ED，

所以∠GCB=∠EBD=∠EDB，所以GC∥AD.

又因为CE∥AH，所以四边形AGCE是平行四边形，

所以AF=CF.

生3认为还可以将AC放在其他的平行四边形中，构造了证法三中的平行四边形ABCM.

证法三 过点A作AM∥BC，交BE的延长线于M.延长CE，交AM于N.连接CM.

因为EC是线段BD的中垂线，

易证CN是线段AM的中垂线，

所以AC=CM.

可得△ABC≌△CAM（AAS）.

所以AM=BC，所以四边形ABCM是平行四边形，

所以AF=CF.

生4认为还可以构造平行线，利用平行线分线段对应成比例的性质进行转化.

证法四 过C作CM∥AB，交AD于M.

所以CM=12AB，且∠BAF=∠ACM.

因为∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ADB，

所以∠ABF=∠CAM.

又因为AB=AC，

所以△ABF≌△CAM，所以CM=AF，

所以AF=12AB=12AC，所以AF=CF.

生5则认为除了作AB的平行线，作BE的平行线也能解决问题.

证法五 过C作CN∥BE，交AD于N.

所以△BDE中，CN是中位线，N是DE的中点.

又由证法一知，DEDA=23.

所以E是AN的中点.

所以在△ACN中，FE是中位线，

所以F是AC的中点，故AF=CF.

几种方法做下来后，很多学生都已经陷入了思维定式：如何作辅助线？还可以作谁的平行线？此时生6提出了自己的证法.

证法六 因为∠ABD=∠FCB，∠FBC=∠ADB，

所以△BFC∽△DAB，所以FCAB=BCDB=12，

所以CF=12AB=12AC，所以AF=CF.

证法六无疑是最简洁的，但却需要很强的观察理解能力，体现了思维的独特性和创新性.

从这个问题来看，一题多解确实能锻炼学生的思维.由于不同学生的思维过程和思维方法是不同的，创造性的灵感也各有不同，因此，让学生暴露其思维过程，不仅有利于学生之间的交流，扩展思维的空间，展示他们的数学思维活动过程，从而培养他们的创造性思维，并且也有利于教师探明学生已经知道了什么和学生是以怎样的方式思维的，与学生一道进入学生的思维空间.而通过这样的碰撞，学生思维的广阔性、灵活性等思维品质都可以得到加强和互补，可以更好地促进学生的思维发展.

例2 求圆（x-2）2+y2=16和圆（x+1）2+（y-4）2=1的内公切线方程.

本题的一般做法是：

解法一 若切线斜率不存在，则其方程为x=2，这是一条外公切线，不符题意，舍去.

若切线斜率存在，设公切线方程为y=kx+b.

则|2k-0+b|k2+1=4，|-k-4+b|k2+1=1， 解之得k=-724，b=194， 或k=34，b=72.

所以，所求公切线方程为7x+24y-114=0和3x-4y+14=0.

经检验，7x+24y-114=0是两圆的外公切线，3x-4y+14=0才是两圆的内公切线.故两圆的内公切线方程为3x-4y+14=0.

此种解法符合求直线方程的一般解法，但解方程组的过程中计算要求很高，没有一定的运算功底，甚至可能解不出来.

但如果考虑到本题的特殊情况：本题中，两圆圆心的坐标分别为A（2，0），B（-1，4），圆心距为5，半径分别为4，1，所以，两圆的位置关系是外切.故其内公切线应该是垂直于直线AB且过切点（分AB的比为4的点）的直线.于是，得到解法二：

解法二 直线AB的斜率为kAB=4-0-1-2=-43，所以，两圆的内公切线l的斜率为kl=34.

由定比分点公式可知，切点坐标满足x=2+4·（-1）1+4=-25，y=0+4·41+4=165， 故切点为-25，165.

所以，所求的内公切线方程为y-165=34x+25，

即3x-4y+14=0.

解法三 利用圆系思想.

我们知道，如果两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①和x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②有交点，则过已知两圆交点的圆的方程（不包括圆②）可设为

（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0.③

尤其，当λ=-1时，③式即为（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0.④

它表示的是两圆的公共弦所在直线方程.

两圆外切时，可以看成是两圆相交的极限情况.所以，當两圆外切时，④式表示的就是两圆的内公切线方程.故本题的第三种解法就是：

直接将已知两圆的方程相减，即可得3x-4y+14=0（最好检验一下）.

圆系的解题思想在解决条件中有“过两圆交点的……”的问题时，在计算方面有较大的优势，但是对学生的思维要求较高.

三、教学启示

一题多解的目的，不是玩噱头，也不是为了一题多解而一题多解，而是为了培养和提高学生的思维能力，发展学生的智力，提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.一般来说，学生得到一个问题的解法越多，就会表明学生的思维越灵活，思路越开阔.学生越是利用所学知识，打破一般的框框去进行广阔的思维，就越有利于促进其思维的发展，提高其创造能力.但并不是所有的习题都有必要“一题多解”，同时也不提倡学生用特别复杂的方法去解题，更不应当因为学生只能用一种方法解题去批评、责备学生，这样就会挫伤学生思维的积极性.

一位数学特级教师曾说过：“数学，要求真、求简.”所以，有了一题多解后，教师还应当引导学生进行比较、反思，看看是不是每种方法的思维过程都是严谨的，并尝试找出最简便的解法，这样才符合数学严谨的特性和简洁之美.

爱因斯坦说：“想象力比知识更重要.因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步.”可见，想象力是创新的基础.同时，猜想也是一种高级的创造性思维形式，利用它可以发现解题思路，利用它可以发现新原理、新公式.所以，我们应提倡让学生多猜想，多从不同的角度提出问题，多从不同的角度寻求解决问题的办法.教师要及时对学生的构想加以分析评价，帮助学生深入认识问题的本质，将学生引向更深的思维层次、更广阔的思维空间.

【参考文献】

[1]郭丽云.在解题教学中注重思维过程展示[J].数学学习与研究，2011（4）：7-8.

[2]韩晓丽.基于例题设计有效性的教学实践与反思[J].中学数学研究，2013（2）：26.

[3]张莉.善思多解提高思维发散性[J].中学生数理化（尝试创新版），2013（7）：37.

[4]刘义才.数学创新意识的培养[J].新课程（教研），2011（2）：45-46.