基于“最近发展区”下的高中数学变式教学

李坤

【摘要】“最近发展区”理论为数学教学提供了科学的理论基础和实践指导，在高中数学变式教学中，教师可以在“最近发展区”理论背景下，根据学生的数学认知水平，通过设置逐步递进的变式题目，帮助学生实现从现有能力向潜在能力的跨越.本文以“最近发展区”理论为指导，以案例的形式呈现变式教学在高中数学中的渗透.

【关键词】最近发展区；高中数学；变式教学

一、概念性变式

（一）概念引入变式务必运用“最近发展区”

概念引入是概念教学的第一步.苏霍姆林斯基曾说：“人的心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要.”那么，在此背景下设计变式，既要向学生展示知识的发生、发展和形成过程，又要激发学生的求知欲，让学生抓住概念的本质特征，转化目前的“最近发展区”，建立起感性认知与抽象概念之间的联系.

案例1 等差数列的概念引入

① 我们经常遇到这样的数，从0开始，每隔3数一次，可以得到数列：0，3，6，9，12，15，….

② 班上50名学生依次报数，得到数列：1，2，3，4，5，…，48，49，50.

③ 水库水位为10 m，自然放水每天水位下降0.5 m，降低到6 m时停止放水，那么水库在放水过程中，每天的水位构成数列：10，9.5，9，8.5，8，7.5，7，6.5，6.

学生分析讨论这三个数列的共同特点，归纳出等差数列概念的本质特征：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示.

符号语言：当n∈N*，且n≥2时，an-an-1=d.

[评析]学生在此之前对数列已经具有感性的认知，通过分析①②③的共同特点，抓住等差数列概念的本质特征，转化目前的“最近发展区”.

（二）概念辨析变式必须符合“最近发展区”

概念辨析变式是在引进概念之后，针对概念本质特征做进一步探讨.美国数学家哈尔莫斯曾说：“问题是数学的心脏.”这种以问题为铺垫所设计的变式题目，需要完全符合学生的“最近发展区”.

例如，在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首项a1和公差d.

变式1：在等差数列{an}中，已知a1=3，an=21，d=2，求n.

变式2：在等差数列{an}中，已知a2=7，a4=13，求a3.

[评析]原题属于在等差数列中，对于四个量a1，an，n，d知三求一的问题，是一道基础题.通过变式，虽然题目的形式有所改变，问题的本质特征没有发生改变，学生在运用概念解决问题的同时，也加深了对概念内涵和外延的理解，为后面问题的深化奠定了良好的认知基础.

（三）概念深化变式完全依据“最近发展区”

对概念进行深化巩固是概念教学的重要环节.奥苏贝尔曾说：“如果让我用一句话概括教育心理学的内容，我将说就是在学生已有知识的基础上进行教学.”概念巩固变式是在学生对概念的内涵和外延理解基础上，通过精心设置学生容易出错、需要利用概念之间的逻辑关系解决问题的变式题目，让学生在思考、变式和分析中深化对概念的理解，使学生的潜在发展水平顺利地转化为现有发展水平，充分依据了“最近发展区”理论.

例如，已知数列{an}满足a1=1，an+1=an-3an+1an，证明：1an为等差数列.

变式1：已知数列{an}满足a1=25，且对任意的n∈N*，都有anan+1=4an+2an+1+2，证明：1an为等差数列.

变式2：已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n≥2），a1=5，bn=an-12n，证明：{bn}为等差数列.

[评析]本例中的题目都考查了利用数列的递推公式证明数列具有等差数列的特征，原题中an+1=an-3an+1an两边可直接同时除以an+1an，进而得出1an为等差数列；“变式1”与原题的区别在于首先需要对anan+1=4an+2an+1+2化简，然后再将等式两边同时除以an+1an；“变式2”无疑是对“变式1”的深化，学生只有在能解答“变式1”的前提下，在教师指导下发现等式两边“符号”的特点，从而找出解决问题的方法.

从概念性变式中可以发现，每一道變式问题的解答都建立在学生对原问题的认知结构基础上，引起学生内心的认知矛盾，这样的施教既有一定的深度又有力度，使数学教学成为数学思维活动的教学.

二、过程性变式

过程性变式是指在数学变式教学中，对教学对象进行有层次性的推进过程.这种层次性既可以看成是为教学内容设置一系列的台阶，又可以看成是数学中某种活动策略或经验，其目的在于让学生积累多种活动经验.因此，笔者认为过程性变式是一种由浅入深、由局部到整体的一种教学手段，它更符合“最近发展区”理论.

案例2 已知ax2-ax+13≥0恒成立，求实数a的取值范围.

变式1：已知函数f（x）=ax2-ax+13的定义域为R，求实数a的取值范围.

变式2：函数f（x）=ax2-ax+13的定义域为R的充要条件是什么？

变式3：已知函数f（x）=1ax2-ax+13的定义域为R，求实数a的取值范围.

变式4：已知函数f（x）=log2ax2-ax+13的定义域为R，求实数a的取值范围.

[评析]本例主要是对二次函数的性质进行考查，并在此基础上设计变式，考查对定义域、二次根式、充要条件、分式、对数知识的理解和认识；考查二次不等式恒成立问题的转化方法.变式题目的综合性逐渐加强，难度不断加大，新旧知识之间跨度小，学生在掌握原问题的基础上，能够通过类比联想，与前面题目产生联系，在教师的指导下解决问题，符合学生的“最近发展区”.

从过程性变式中可以发现，教学中应该把教学层次和教学要求设置在学生的思维“最近发展区”内，学生通过自主探索和小组协作，使得问题得到解决.在数学变式教学过程中，教师应该首先准确界定学生的“最近发展区”，然后把学生的思维潜在水平转化为现有水平，对于难学的内容或问题，应适当采取铺垫，让学生“跳起来就能摘到果实”.

【参考文献】

[1]陈杰.从“最近发展区”看初中数学变式教学[J].福建中学数学，2012（1）：28-30.

[2]顾泠沅，杨玉东.过程性变式与数学课例研究[J].上海中学数学，2007（1）：1-5.