基于比例放大的声波共振频率测试方法

李致远，陈楚林，王学文，方飞杨，李路军，谢文科

(中南大学 物理与电子学院，湖南长沙，410083）

0 引言

共振是一个物理系统在特定频率下比其他频率以更大振幅振动的情形，声波共振系统的共振频率在物体质量检测、损伤探测等领域具有重要意义[1,2]。声波由振动产生，其传播对物体产生的宏观表现为物体振动，主要有简谐振动、阻尼振动、等幅振动、受迫振动等[3,4]。共振是一个物理系统在特定频率下比其他频率以更大振幅振动的情形，属于受迫振动，这些特定频率即共振频率[5,6]，本文以玻璃杯共振频率为研究对象，提出一种基于比例放大的声波共振频率测试方法并进行了相关分析。

共振发生状态下玻璃杯共振频率与材质、高度、口径、厚度、杯内水的量以及声音频率有关，由于材料和加工工艺等原因，发生共振时以最大振动幅度运动，但仍难以用常规方法探测[1,6]。针对这一特点，提出了光学比例放大法通过反射激光光斑在光屏上移动幅度将振动的幅度放大，从而反映振动玻璃杯共振最大位置，各个因子与共振现象的影响关系。

1 振动幅度测量的光学放大方法和原理分析

在周期持续性声音下受迫振动发生时的系统激励响应是定常性激励，在定常性激励下单自由度带阻尼的系统的运动微分方程可写作[5]：

其中0sinFtω为谐和激励。

分析可知系统振动响应是阻尼振动、受迫振动两部分的和，一部分是阻尼振动的响应，这部分随时间增大而迅速衰减；另一部分受迫振动的响应可写作[6]：

其中 h /F0，为定常响应振幅与激励振幅之比，表征幅频特性或称增益函数；ψ为定常响应和激励的相位差，表征相频特性；ω为激励频率。

在小阻尼情况下，幅频曲线具有单峰，对应于峰顶的频率为系统的共振频率。小阻尼情况时共振频率与固有频率差别不大，当激振频率与固有频率接近时，振幅急剧增加，产生共振。共振时系统的增益取极大值受迫振动最为激烈。不论阻尼大小，在ω处相位差ψ =π/2。这样，可利用系统振动幅频、相频的特点开展声音共振测量和分析。

定常声波的周期性激励迫使玻璃杯振动，杯壁的径向振动由音源方向沿径向朝玻璃杯中心传播。当声音停止后，玻璃杯振动迅速减弱，在此过程中可以认为玻璃杯做阻尼振动。由于玻璃杯的形状不规则，无法直接计算出玻璃杯或装有水的玻璃杯的固有频率，可以通过控制变量法通过变化声音频率测量出玻璃振动的最大值。由振动理论可知，固有频率ω与玻璃杯质量及玻璃杯壁的物理特性有关[5]：

式中C是与玻璃杯壁的物理特性有关量，m为有效质量。

控制变量法的影响如下：由于杯子的固有属性无法改变，通过改变玻璃杯中液体有效质量m，改变玻璃杯的共振频率发生变化。

针对玻璃杯壁振动极其微弱，幅度在约0.1-0.5mm之间的情况，通过光线的移动及反射镜的旋转从而放大旋转的弧长，进而达到放大微小变化，如：弹性形变、微小振动等。通过悬挂的反射镜接触振动的玻璃杯将振动转化成反射镜的振动，通过反射光的光斑位移放大共振振幅，以最大振幅对应的频率作为共振频率。利用激光光斑共振振幅放大原理示意图如图1所示。

图1 利用激光光斑共振振幅放大原理示意图

将反射镜轻触在玻璃杯壁上，没有振动时激光器反射的光原路返回，反射镜随玻璃振动而产生偏转时，会造成反射光路相对垂直反射的角度发生偏转，接收屏上光斑产生位移，位移大小可反映振动大小。根据反射定律，图中的入射激光与反射光几何关系，有：

其中d为光斑移动距离，x为反射镜到光屏的距离，r为激光入射点与反射镜转轴的距离（即旋转半径），a为玻璃杯振动幅度,θ为反射镜旋转角度。

结合公式（5）、（6），可知 a、θ均为较小量，r、d、x 均为较大值且可测定。具有典型放大作用。因此，用刻度尺测量激光光斑的位移d等参数可反映玻璃杯振动情况，通过测量出玻璃杯振动最大值对应的频率参数，可判定共振频率。

2 测量系统设计和数据分析

根据控制变量法，光屏—反射镜距离、测量装置、声源与玻璃杯距离、反射镜旋转半径等参数保持不变，控制的变量包括：物理参数、蓄水量、声音频率等。实验对象按照高度从大到小依次使用口径分别为7.1cm、6.8cm、5.8cm、5.2cm分别标记为1号、2号、3号、4号，分别对应高度20.7cm、16.5cm、15.2cm、13.5cm。

激励源采用华旗AP600型音响作为激励源，主要技术指标如下，信噪比大于80dB、尺寸：248*215*98mm、峰值功率：400W、喇叭尺寸：6.5寸、高密度纤板材质。实验选用DV/9V 2200毫安大功率音响。

激励源声信号控制软件。通过C++编程开发控制所需特定频率声波的软件。计算机通过音频线与音响连接后将信号传给喇叭放大音频信号提供所需频率的声音激励源，控制精度为1Hz，激励源声信号控制软件界面如图2所示。

图2 激励源声信号控制软件界面

反射镜采用类平面镜的材质，可反射激光且保持激光光斑形状规则。光屏用来接收反射后的激光光斑，用刻度尺测量激光光斑位移及其他距离参数，用固定支架固定反射镜。采用防风装置避免实验中反射镜受到空气流动的干扰减小实验误差。设计的测量系统装置和场景如图3所示。

图3 实验装置和场景图

3 共振现象及数据分析

针对典型参数做了大量玻璃杯共振实验，实时记录实验数据并利用Origin 8和matlab软件进行数据拟合分析。

反射镜随杯子振动而做往复的定轴旋转，随着反射镜的旋转，激光光斑产生明显的移动，范围是0-3.5cm。当声音达到某一频率时光斑移动距离有最大值，前期随着声音频率的增加，光斑移动距离增大，达到共振频率后移动距离随频率增加而减小。不同杯子的共振频率不同，达到共振时的振动光斑的位移不同。激光光路和光斑的实验现象如图4所示。

图4 激光光路及反射光斑实物图

3.1 结果及其分析

针对不同水量与共振频率的实验得到时频率—位移分布图，其中1号杯子水量的部分时频率—位移分布图分别如图5、图6、图7、图8所示。

图5 未装水的时频率—位移图

图6 装1/4水量的时频率—位移图

图7 装1/2水量的时频率—位移图

图8 装满水的时频率—位移图

图中,频率Frequency是播放的声音频率，距离Distance是激光反射后在光屏上的光斑移动幅度。根据所有数据分布拟合的第1号杯水量—共振频率函数表达式为：

2号杯的水量—共振频率函数关系式为：

3号杯的水量—频率函数表达式为：

3.2 误差和共振对相关量依赖规律分析

根据实验误差来源于软件频率不准确、响度不一致造成振动不同、反射镜附近的空气流动对悬挂的反射镜的影响以及反射光斑大小对观测记录的影响。

声音频率的影响。利用测试—校准方法，根据音叉的发音频率固定的特点，通过和选用440Hz的标准音叉频率进行对程序的发音频率进行校准。测试中作为对照。当程序输入440Hz的指令时，音响发出的声音频率与同频率的音叉相近，相差约2Hz。采取的校准方法与钢琴调律过程中用音叉取“标准音”的原理相似。敲响音叉后，对比输入同频率的声音，调制软件至频率相同，并以该频率作为标准频率。在编程过程中认为程序的发声频率与标准频率的误差则是定值，通过修改程序使得发声频率均为以音叉为基准的标准频率。

响度的影响。同一频率下响度不同时其振动幅度也不同，为了避免响度变量对实验造成影响，测量时统一把音响响度调至最大，保证不同频率下声音响度一致，排除无关变量影响。

反射镜附近空气流动的影响。为了保证反射镜能够不受阻力地旋转，采用悬挂式的方法，最大程度地减小反射镜在旋转时所受的阻力。尽量定的室内做实验并使用防风罩等装置减小空气流动的影响。通过激光光斑位移测量无音源激励下的反射镜旋转情况，发现不同情况下光斑移动最大不超过0.5cm，其中某时段的无音源激励时反射光斑稳定性测试数据如表1所示。

表1 无音源激励时光斑稳定性测试数据

根据实验结果分析了玻璃杯共振对相关参量的依赖程度和规律，玻璃杯随着声音的振动激励产生振动，在某一特定频率下其振动有最大值，该频率为共振频率。共振现象与水量、高度、口径、杯子质量以及声音频率有密切关系。随着杯内液体的增加，共振频率减小；随着玻璃杯的高度增加，共振频率减小；随着玻璃杯的口径增加，共振频率减小；随着玻璃杯的质量增加，共振频率减小；共振现象与声音响度、音色无明显关系。

4 结论

利用比例放大方法对玻璃杯共振现象进行了实验研究，分析了玻璃杯共振对相关参量的依赖程度和规律。提出了一种微小振动的测量方法，通过观察激光反射后在光屏上的光斑移动幅度，解决了振动幅度小、难以探测的实际问题。针对典型情况下的实验数据，利用Origin 8和matlab软件进行了多项式拟合分析，开展了参量依赖性研究。

参考文献

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